대수 깊이를 갖는 경사 폭 표현식

너비가 w 인 그래프 의 트리 분해가 주어지면 여러 가지 방법으로 "멋지게"만들 수 있습니다. 특히, 트리가 이진이고 높이가 O ( log n ) 인 트리 분해로 변환하는 것이 가능하다는 것이 알려져있다 . 대부분의 분해의 폭을 유지하면서 달성 될 수있는 3 w . (예를 들어 Bodlaender와 Hagerup의 "경계 트리 폭에 대한 최적 속도 향상을 가진 병렬 알고리즘"참조). 따라서 대수 깊이는 거의 무료로 얻을 수있는 나무 분해의 속성입니다.$G$$w$$O(\log n)$$3w$

내 질문은 clique-width에 대한 비슷한 결과가 있거나 아마도 반대의 예가 있는지 여부입니다. 다시 말해, k 라벨을 사용 하는 대한 폭 폭 표현식이 주어지면, 최대 f ( k ) 라벨 을 사용 하는 G 에 대한 높이 O ( log n ) 의 폭 폭 표현식이 항상 존재 합니까? 여기서 높이는 자연스럽게 파벌 너비 표현의 구문 분석 트리의 높이로 정의됩니다.$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

상기 유사한 문장을 모르는 경우, 예가 -vertex 그래프 G 작은 도당 폭과 k는 , 구축하는 유일한 방법되도록 G를 함께 F ( K ) 라벨 큰 갖는 표현식을 사용하는 깊이?$n$$G$$k$$G$$f(k)$

잠시 후 나는 문학에서 답을 찾았으므로 다른 사람에게 도움이 될 수 있도록 여기에 게시하고 있습니다.

대수의 깊이를 갖도록 클릭 폭의 균형을 재조정하는 것이 가능합니다. 결과는 Courcelle and Kanté, WG '08의 논문 "순위 너비 및 균형 잡힌 그래프 표현을 특징으로하는 그래프 연산"에 나와 있습니다. 나는 논문에서 정리 4.4를 인용한다.

$k$$k \times 2^{k+1}$

여기서 주목할 것은 레이블의 수가 밸런싱에서 기하 급수적으로 팽창한다는 것입니다. clique-width의 경우 더 나은 결과는 현재 알려져 있지 않은 것 같습니다. 동일한 논문은 순위 폭에 대한 일정한 폭파만으로 유사한 결과를 제공하지만, 최악의 경우에는 파면 폭과 순위 폭의 차이가 기하 급수적으로 증가 할 수 있기 때문에 도움이되지 않습니다.