이론에 의해 쉽게 어려운 까다로운 알고리즘 문제

다음과 같은 현상이 발생하는 좋은 예를 찾고 있습니다. (1) 정의에서 작동하고 표준 결과 만 사용하여 문제를 해결하려는 경우 알고리즘 문제가 어려워 보입니다. (2) 반면에 (정규가 아닌) 정리를 알고 있으면 쉬워집니다.

이것의 목표는 학생들이 이론을 벗어난 사람들 (소프트웨어 엔지니어, 컴퓨터 엔지니어 등)에게도 더 많은 이론을 배우는 것이 유용 할 수 있음을 설명하는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다 .

질문 : 주어 정수 ,이 생길 존재 -vertex 그래프 (그렇다면 하나를 찾기), 예컨대 그 정점 연결임을 , 가장자리 연결은 및 최소 정도는 ?n k l $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

우리는 매개 변수가 주어진 숫자와 정확히 동일해야하며, 단지 경계가 아닙니다. 처음부터이 문제를 해결하려면 다소 어려워 보일 수 있습니다. 반면에, 다음 정리에 익숙하다면 ( B. Bollobas의 극단 그래프 이론 참조 ) 상황이 상당히 달라집니다.

정리 : 는 정수라고 하자 . 다음 조건 중 하나가 충족되는 경우에만 정점 연결성 , 간선 연결성 및 최소 차수 갖는 정점 그래프 가 있습니다 .n k l $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$ ,
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

이러한 조건은 확인하기 쉽고 입력 매개 변수 사이의 단순한 불평등이므로 존재 질문에 쉽게 대답 할 수 있습니다. 또한 정리의 증명은 건설적인 문제를 해결하면서 건설적입니다. 반면에이 결과는 충분히 표준으로 보이지 않으므로 모든 사람이 이에 대해 알 것으로 기대할 수 있습니다.

(정규가 아닌) 정리를 아는 것이 작업을 크게 단순화하는이 정신에서 더 많은 예를 제시 할 수 있습니까?

곱셈표로 주어진 간단한 그룹의 동형 결정 . 이것이 다항식 시간으로 이루어질 수 있다는 사실은 모든 유한 단순 그룹이 최대 2 개의 요소에 의해 생성 될 수 있다는 사실과 직접 연관되어 있으며, 현재 그 사실에 대한 유일한 알려진 증거는 유한 단순 그룹의 분류 (아마도 가장 큰 정리)를 사용합니다 -저자, 논문 및 페이지 측면에서 입증 된 결과).

귀하의 질문을 올바르게 이해하면 그래프 에 Eulerian 회로가 있는지 결정하는 표준 예가 있습니다 .G 가 연결되어 있고 모든 정점이 어느 정도 인지 확인하는 것과 같습니다 .$G$$G$

오늘 오후에 나는 "진짜"문자열 이론 인 Stringology 를 읽고 있었습니다 .

문제점 : 경우 및 Y는 어떤 양의 정수가있을 때 일부 알파벳 위에 두 문자열이다 해요 , N 되도록 X의 m은 = Y N을 .$x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

정리 : 가 양수가 되도록 X의 m = Y N 경우에만, X의 Y = Y (X) .$m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

poly 모두 또는 주어진 간격으로 실수 다항식의 (고유 한) 실제 근의 수를 구합니다. Sturm의 정리는 적은 수의 요구 사항을 충족하는 다항식 시퀀스를 사용하여 실제 계수를 사용하여 다항식의 실제 근의 수를 계산할 수 있습니다.

그런 다음해야 할 일은 그러한 순서를 구성하는 것입니다 (매우 어렵지는 않지만 일부 예외적 인 경우와 분리 할 수없는 다항식의 경우를 처리해야 함), Bob은 삼촌입니다.

놀랍게도,이 결과가 꽤 오래되었지만 (1829)이 결과에 대해 아는 사람은 거의 없습니다. 그것은 많은 컴퓨터 대수 시스템에서 사용되지만, 내가 요청한 우리 대학의 모든 수학 교수들은 Sturm 's Theorem을 전혀 알지 못했거나 이름으로 만 알았으며 다항식의 뿌리와 관련이 있습니다.

당신과 같은 무언가를 말할 때 대부분의 사람들은 매우 놀라 계산 진정한 뿌리는 바로 이 용이하고 있음을 고려하고, 어떤 접근을 필요로하지 않습니다 찾는 뿌리 것은 훨씬 더 어렵다. (5도 이상의 다항식의 경우 뿌리에 대한“적절한”공식조차 존재하지 않음을 기억하십시오)

정리 : 모든 평면 그래프에는 최대 5의 정점이 있습니다.

문제 : ( u , v ) 가 O ( 1 ) 시간 의 모서리 인지 확인할 수있는 평면 그래프 의 표현을 설계 하십시오 .$O(n)$$(u, v)$$O(1)$

최대 5 도의 정점을 제거하고 키로 목록에 추가하고 이웃을 값으로 추가 할 수 있습니다. 나머지 그래프도 평면형이며 최대 5 도의 정점을 갖습니다. 따라서 소비되는 공간은 최대 입니다. u 가 v 의 인접 목록에 있는지 확인할 수 있습니다 . 그렇지 않은 경우 v 가 u 의 인접 목록에 있는지 확인할 수 있습니다 . 이 과정은 최대 10 단계입니다.$5n$$u$$v$$v$$u$$10$

나는이 범주의 후손이 적어도 아 시메트리에 관한 한 다음과 같은 문제라고 생각한다.

평면 그래프 주어 이며, G는 4 착색 할 수있는?$G$$G$

4 색의 정리 에 대한 알고리즘을 단순화합니다 return true.

실수 (다변량) 다항식 가 실제 다항식의 제곱의 합으로 표현 될 수 있는지 여부는 반정의 프로그래밍으로 축소하여 해결할 수 있습니다. SDP를 알아야하며 SDP를 효율적으로 해결할 수 있습니다.$p$

또 다른 예 : 방향이없는 그래프가 주어지면 모든 모서리가 분리되는 최소 컷이 있습니까? 그렇다면 찾으십시오.

처음에는 이것이 어려워 보일 수 있습니다. 그러나 방향이 지정되지 않은 vertex 그래프는 최대 n ( n - 1 ) / 2 최소 컷을 가질 수 있고 다항식 시간으로 모두 나열 될 수 있다는 결과를 알면 쉬워 집니다.$n$$n(n-1)/2$

최소 컷보다 크지 만 거의 일정한 비율로 거의 최소 컷까지 확장 할 수 있습니다. 그들의 수는 여전히 다항식에 의해 제한됩니다.

(나는 참조를 검색하지 않았는데,이 결과는 D. Karger에 의한 것입니다.)

문제 : 유한 단어에 대한 MSO (모 노드 2 차 논리) 공식의 적합성.

정리 : MSO는 유한 단어에 대한 유한 오토마타와 같습니다.

위의 단어는 무한 단어, 유한 나무, 무한 나무로 들어 올릴 수 있습니다.

약간 더 복잡한 예 : 음 이 아닌 순위가 일정 할 때 음이 아닌 행렬 인수 분해 .

음수가 아닌 U ∈ M m × k , V ∈ M k × n 이 존재 하여 A = U V가 된다는 약속과 함께 행렬 을 제공한다고 가정하겠습니다 . 문제는 A에 대한 인수 분해를 찾는 것 입니다.$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

몇 줄의 기본 선형 대수를 사용하면 변수 에서 다항식 불균등 시스템을 해결하는 문제를 줄일 수 있습니다. 여기서 r 은 인수 분해하려는 행렬의 음수가 아닌 순위입니다.$O(r^2)$$r$

Renegar의 알고리즘 을 망치로 사용하면 시간 에서이를 해결하여 U 와 V를 복구 할 수 있습니다. NMF를 시간 ( m n ) o ( r ) 으로 해결하는 것은 ETH가 어렵 기 때문에 이것은 최적 성과 그리 멀지 않습니다 .$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

결정적인 Diffie Hellman

이것은 상태 : 주어진 여기서 g는 사이 클릭 기의 일부이고 발생기 G , 만약 확인 g C = g $(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

불연속 로그 문제의 경도에 대한 표준 가정 하에서이 문제는 어려워 보일 수도 있습니다.

그러나 이중 선형 맵에서는이 문제가 쉽고

여기서 $e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

이에 대한 자세한 내용 은 결정적인 diffie- hellman 문제 , Boneh'98 또는 페어링에 대한 Google 조회에서 읽을 수 있습니다.

(사소하게) 유한 게임에 내쉬 평형이 존재하고, 입방 그래프에 짝수의 해밀턴 경로, 다양한 유형의 고정 소수점, 부분적으로 균형 잡힌 비교, 많은 다른 PPAD 문제가 있습니다.

$((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

$s$$t$$(V, E)$$s$$t$

또 다른 예는 다음과 같습니다. 무 방향 단순 그래프가 주어지면 두 개의 정점 분리 회로가 있는지 확인하십시오.

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

그래프가 정리에서 허용하는 그래프 중 하나인지 쉽게 확인할 수 있기 때문에 의사 결정 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘을 제공합니다.

주 : (1) 정리의 증거는 결코 쉽지 않다. (2) 두 개의 분리 회로가 존재한다고 결정하면 관련 검색 문제 를 해결하는 방법 , 즉 실제로 그러한 회로를 찾는 방법이 명확하지 않은 것 같습니다 . 정리는 그것에 대한 직접적인 조언을 제공하지 않습니다.

덜 복잡한 예 : 일부 문제에 대한 욕심 많은 알고리즘이 최적이라는 것을 보여주는 정리와 유사한 특성이 있습니다. 시작되지 않은 최소 스패닝 트리는 그리 욕심 많은 알고리즘으로 찾을 수 있습니다. 그래프에서 가장 짧은 경로를 찾는 Dijkstra의 알고리즘 은 개념 상 다소 비슷 합니다. 실제로 두 경우 모두 관련 "정리"는 알고리즘과 거의 동일합니다.

다른 피보나치 수의 곱인 피보나치 수의 순서를 찾으십시오. 예를 들어, 피보나치 수 8은 8 = 2 * 2 * 2이므로 시퀀스에 있고 2는 8이 아닌 피보나치 수입니다. 피보나치 번호 144는 144 = 3 * 3 * 2 *이므로 시퀀스에 있습니다 2 * 2 * 2이며 2와 3은 모두 144와 같지 않은 피보나치 수입니다.

카 마이클 정리는 8과 144가이 순서의 유일한 용어임을 암시합니다.