이 경로 문제의 복잡성은 무엇입니까?

예 : 그래프는 방향성이 정점으로 구별 개의 는 정수, 그리고 .$G$$s\neq t$$k\geq 2$

질문 : 거기에 존재 하는가 의 경로를 , 등 대부분의 경로에 닿 정점? 정점이 경로에 있거나 경로에 이웃이있는 경우 경로가 정점에 닿습니다.$s-t$$G$$k$

이 문제는 다음에서 연구되었습니다.

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg : 외딴 연결성 문제. ESA 2013 : 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

그들은 그것을 외딴 길 문제라고 불렀습니다. 실제로 NP-hard이며 최적화 버전에는 상수 팩터 근사가 없습니다.

저자가 제공하는 동기는 정보가 경로를 통해 전송되는 설정이며 경로의 이웃과 노드 만 볼 수 있습니다. 목표는 노출을 최소화하는 것입니다.

편집 : 이 문제의 경도를 이미 입증 한 종이에 대한 참조는 아래 user20655의 답변을 참조하십시오. 누구든지이 대체 증거를보고자 할 경우를 대비하여 원래 게시물을 남겨 두겠습니다.

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변수 및 절 로 구성된 NP-hard 문제인 MIN-SAT 인스턴스를 고려하십시오. . 우리는 이것을 당신의 경로 문제로 줄입니다.C = { c 1 , c 2 , c 3 , ⋯ $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$$C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

우리는 각각의 에 대해 두 개의 꼭짓점 (부정 된 형식에 대해 하나, 부정되지 않은 것에 대해 하나)과 각 에 대해 하나의 꼭지점을 갖 . 또한,우리는해야합니다 정점 패딩을.c i m = 2 n + | C | m p 1 , p 2 , ⋯ , p $x_i$$c_i$$m = 2n+|C|$$m$$p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

대략적으로 말하면 및 를 중간 노드로 사용하여 에서 까지 경로를 만드는 최적의 솔루션이되는 그래프를 구성 할 것 입니다. 이 경로의 비용은 우리가 선택한 경로를 할당으로 바꾸려는 경우 만족시킬 수있는 입니다. S는 임의의 단편을 절단함으로써 속일 수있는에서 최적의 솔루션을 방지하기 위해 단지 거기 S.t x i ¯ x i c j p i c $s$$t$$x_i$$\bar{x_i}$$c_j$$p_i$$c_j$

를 가 나타나는 임의의 절 에 연결 하고 을 가 나타나는 임의의 절 에 연결하십시오 . 변수를 강제로 할당하기 위해 및 이 각각 및 연결 되는 다이아몬드 사다리 형 구조 를 만듭니다 . 는 및 에 연결 되고 는 및 됩니다. 마지막으로 각$x_i$$c_j$$x_i$$\overline{x_i}$$c_j$$\overline{x_i}$$x_i$$\overline{x_i}$$x_{i+1}$$\overline{x_{i+1}}$$s$$x_1$$\overline{x_1}$$t$$x_n$$\overline{x_n}$$c_i$모든 패딩 변수 연결됩니다 . 편리한 그래프 그리기를위한 소프트웨어가 없으므로 다음과 같이이 구조를 개략적으로 그린 ​​다이어그램이 있습니다.$p_j$

합니다 (참고 여기 클라우드는 정점의 큰 세트 및 각 두께의 가장자리입니다 이 클라우드로 대표 이 세트의 각 꼭지점에 연결된다.)$\{P_i\}$$c_j$$c_j$

최소 터치 경로 문제에 대한 최적의 솔루션에서 경로를 터치 할 정점의 수는 이며 여기서 는 MIN-SAT 인스턴스에 대한 최적의 솔루션입니다. 이 때문입니다$Q + 2n + 2$$Q$

1. 경로는 에서 시작하여 에서 끝나야하며 , 모든 패딩 정점을 수집하지 않고이를 수행하는 가장 좋은 방법은 에서 이제까지 모두 수집하지 않고 및 임의 대해 (이는 직관적 두 번 선택한 변수에서 두 옵션 중 하나를 삭제하면 두 가지를 모두 유지했을 때보 다 더 큰 비용이 드는 유효한 경로가 생성됩니다).$s$$t$$y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$$y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$$x_i$$\overline{x_i}$$i \in 1, \cdots, n$
2. , , , 외부에서 아무것도 수집하지 않는 가 되는 최대 의 비용 솔루션이 있습니다 . 그리고 . 이후 어떤 적어도 있어야합니다 패딩 얻는 경로 , , 일부 , 일부 및 , 그리고 모든 , 그것의 비용이 가 최적입니다 그래서. 따라서 최적의 솔루션은 패딩 정점에 닿지 않으므로 경로는 (1)에 요약 된대로 진행되어야합니다.$m+2$$s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$$s$$t$$\{x_i\}$$\{\overline{x_i}\}$$\{c_i\}$ $s-t$$s$$t$$c_i$$x_i$$x_j$$\{p\}$$\geq m+5$
3. 경로를 거치는 정점에 해당하는 변수 할당 전화 (이외 와 ) 에 의한 할당 경로. 경로의 유도 된 할당이 절을 만족시킬 경우 정점 는 터치 됩니다. 반대로, 절 을 만족시키는 변수의 할당 은 상기 할당을 유도하는 경로를 살펴봄 으로써 의 정확히 에 닿는 경로로 변환 될 수있다 .$s$$t$$c_j$$c_j$$Q$$Q$$c_j$
4. 모든 및 는이 경로 와 및 모두에 닿습니다 . 이것들 은 모두 총 비용 에 를 기여 합니다. 나머지는 최적의 솔루션에서 비용으로 접촉 한 에서 나옵니다 .¯ x i s t 2 n + 2 c i$x_i$$\overline{x_i}$$s$$t$$2n + 2$$c_i$$Q$

따라서 경로 문제의 인스턴스에서 생성하는 그래프의 비용이 경우 MIN-SAT 인스턴스에 비용 의 솔루션이 있는지 확인할 수 있습니다 . 특히, 우리는 Karp-reduction을 통해 이것을 할 수 있습니다. 따라서 언급 된 문제는 NP-hard입니다.≤ K + 2 , N + $\leq k$$\leq k + 2n + 2$