계층 정리가없는 복잡성 클래스 분리

계층 정리는 기본 도구입니다. 이전 질문에서 많은 수의 정보가 수집되었습니다 ( 어떤 계층 구조 및 / 또는 계층 구조 정리를 알고 있습니까? 참조 ). 일부 복잡한 클래스 분리는 계층 정리에서 직접 따릅니다. 잘 알려진 분리의 예 : , , , $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

그러나 모든 분리가 계층 정리에서 나오는 것은 아닙니다. 매우 간단한 예는 입니다. 그 중 하나가 다른 하나를 포함하는 경우 우리가 모르는에도 불구하고 있기 때문에, 그들은 여전히 다른 다항식 변환에 대한 닫힌 상태, 없습니다. $NP\neq E$ $NP$ $E$

일부 계층 정리에서 직접 따르지 않는 균일 한 클래스에 대한 더 깊고 무조건적이고 관련성이없는 복잡한 클래스 분리 는 어느 것입니까?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— 안드라스 파라고
소스

나는

를 분리 라고 부르는 것이 좀 이상하다고 생각합니다 . 또한 그들의 불평등은 사소한 이유 때문에 우리에게 흥미로운 것을 말하지 않습니다. AFAIK는 복잡한 클래스에 대한 모든 복잡한 클래스 분리는 어떤 시점에서 계층 정리 (그리고 차례로 대각선 화)에 의존합니다.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh

사실, 사소한 이유로

를 분리 라고 부르는 것은 드문 일 입니다. 계층 정리가 필요하지 않은 간단한 예를 보여주기 위해 가져 왔습니다.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

ERR, NP의 증거! = E는 않습니다 계층 구조 정리에 따라 달라집니다! 작동 방식은 먼저 NP = E를 가정 한 다음 NP의 폐쇄 특성을 사용하여 E = EXP를 추론하여 시간 계층 정리를 위반하는 것입니다.

— Scott Aaronson

고마워요, 스캇

가 올바른 예가 아니 었습니다. 답변 중 더 나은 것을 게시했습니다.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago 2013

그래서 심지어 불평등이 대각에 의존 :

하지만

. 좋고 아주 사소한 일이 아닙니다.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

답변:

나는 틀렸다는 것을 보여주고 싶지만, 궁극적으로 계층 정리 중 하나를 기반으로하지 않는 균일 한 하한이 없다고 생각합니다. 균일 성을 이용하는 방법에 대한 우리의 현재 이해는 실제로 그런 의미에서 상당히 제한적입니다.

반면에 계층 구조 정리에서 직접 따르지 않지만 다른 영리한 트릭, 기술 및 결과와 함께 계층 구조 정리를 사용하는 균일 한 하한이 많이 있습니다.

[Hopcroft-Paul-Valiant]. 그들은 (증거의 비대 각화 부분)을 증명 한 다음 $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ 공간 계층 구조와 결합하여 그들의 결과 + 공간 계층 구조는 또한 합니다. $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
만족을위한 시공간 상충 (예 : 버스-윌리엄 소개 및 참조)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. 결정 론적 시간 계층 구조와 결합하여 더 빠른 4 교체 시스템에 의해 결정 론적 초 선형 시간 기계의 사소한 시뮬레이션을 사용합니다. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
영구적 인 균일 한 하한 [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[Williams] (기술적으로 이것은 불균일 한 하한이지만 비결정론 적 시간 계층과 결합하여 많은 영리한 아이디어를 사용합니다) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— 조슈아 그로 호프
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분리는 으로 Smolensky에 당신이 찾고있는 무엇인가? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— 아르네
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Thank you, that is a nice result, but I am looking for separations of

u n i f o r m

$uniform$ classes, not circuit classes.

— Andras Farago

@AndresFarago: Uniform AC^0 is also properly included in uniform TC^0.

— Emil Jeřábek supports Monica

@EmilJeřábek: Is there a proof that uniform

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$ is properly contained in uniform

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$ that doesn't also already prove the nonuniform statement? (If not, then it would seem your example falls under the general principle that nonuniform lower bounds are stronger than uniform lower bounds, and I think the OQ was trying to avoid such answers...)

— Joshua Grochow

I think the nonuniformity in the proofs is secondary to the fact that these are rather small classes where we have some nice combinatorial/algebraic understanding of them. I.e. we understand them well enough to directly construct an object which is not in them. Where are for larger classes there is no such understanding and therefore the only method we know is to do diagonalization against the whole class to construct such objects.

— Kaveh

Another nontrivial example comes from the area of average case complexity. Rainer Schuler proves interesting properties of the class he calls $P_{P-comp}$ , see [1].

$P_{P-comp}$ is the class of languages that are accepted in polynomial time on $\mu$ -average for every polynomial time computable (P-computable) distribution $\mu$ . Naturally, $P\subseteq P_{P-comp}$ holds, since the existence of a deterministic polytime algorithm implies that it remains efficient on the average, no matter the what the input distribution is. However, the condition of running in average polynomial time for every P-computable input distribution appears strong enough to suspect $P_{P-comp}=P$ .

Surprisingly, Schuler proves that there is a language $L\in P_{P-comp}$ , which is Turing-complete for $E$ , that is,

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$ This implies the unconditional separation

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$ . While the latter also uses the fact

E \neq P

$E\neq P$ , which follows from the Time Hierarchy Theorem, the novel part (*) builds on different tools: beyond diagonalization, it employs resource bounded measure and Kolmogorov complexity.

Reference:

[1] R. Schuler, "Truth-table closure and Turing closure of average polynomial time have different measures in EXP," CCC 1996, pdf

— Andras Farago
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