그래프의 엣지 커버 수 계산의 복잡성

에지 커버 그래프의 각 정점이 상기 커버의 적어도 하나의 에지에 인접하도록 그래프의 에지들의 부분 집합이다. 다음 두 논문은 계산 에지 커버는 말을 #P - 완전한 : 에지 커버 계산에 대한 간단한 FPTAS 및 경로 그래프의 생성 가장자리 커버를 . 그러나 내가 놓친 것이 없다면 그들은이 주장에 대한 참조 또는 증거를 제공하지 않습니다. (첫 번째 논문의 참고 문헌 3은 유망한 것처럼 보였지만, 내가 원하는 것을 찾지 못했습니다.)

그래프의 엣지 커버 수를 세는 것이 # P- 완전하다는 사실에 대한 참조 또는 증거는 어디에서 찾을 수 있습니까?

— a3nm
소스

답변:

이것이 어디에서 처음으로 증명되었는지는 모르겠지만 EdgeCover는 불리언 도메인 홀란 트 문제로 표현되기 때문에 많은 홀란 트 이분법 정리에 포함됩니다.

EdgeCover는 (1)의 이분법 정리에 포함됩니다. 정리 6.2 (저널 버전 또는 사전 인쇄의 정리 6.1)는 EdgeCover가 평면 3 규칙 그래프보다 # P-hard임을 보여줍니다. 이것을보기 위해, 3 개의 정규 그래프에 대한 홀 런트 문제인 EdgeCover의 표현은 (또는 을 로 함유 통해 동일한 문제를 1의 $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $k$ -정규 그래프). 이 표기법 은 입력 해밍 가중치 순서대로 대칭 함수 의 출력을 나열합니다 . 집합 모서리의 일부 하위 집합 (1에 할당 된 것으로 간주하고 보완 집합에 0이 할당 된 것으로 생각)의 경우 각 꼭지점의 제약 조건은 하나 이상의 모서리에 1이 할당되어 있어야합니다. 이는 정확히 함수 . 가장자리의 고정 하위 집합의 경우 가중치는 출력의 곱입니다 $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ 각 정점에서. 정점이 덮이지 않으면 의 인자가 됩니다. 모든 꼭짓점이 포함되면 모든 꼭짓점이 의 요인으로 작용 하므로 가중치도 입니다. 그런 다음 Holant는 가능한 모든 가장자리 하위 집합을 합산하고 각 하위 집합에 해당하는 가중치를 추가합니다. 모든 모서리를 세분화하고 새로운 정점에 대한 두 입사 모서리가 같아야한다는 제약 조건을 적용하는 경우이 Holant 값은 정확히 동일합니다. 대칭 함수 표기법을 사용하여이 이진 동등 함수는 입니다. 이 그래프는 이분입니다. 한 부분의 꼭짓점은 $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ 다른 부분의 정점은이 제한하면서 제약. Holant 문제로서의 표현은 입니다. 그런 다음 " "행과 " "열을 직접 확인할 수 있습니다 $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "에 인용 된 정리 근처의 표 중"H "가 포함되어 있습니다. 이는 입력 그래프가 평면이어야하더라도 문제가 # P-hard임을 의미합니다. $[1,0,1]$

참고 : Pinyan Lu는이 논문과 인용 한 첫 번째 논문의 저자입니다. 그들의 논문에 "가장자리 커버링이 입력을 3 개의 정규 그래프로 제한 할 때도 # P- 완전한 문제"라고 말했을 때, 그들은 암시 적으로 인용하고있었습니다 (1). FPTAS에 이러한 제한이 필요하지 않기 때문에 평면 그래프로 더 제한 될 때 경도도 유지한다고 언급하지 않았을 것입니다.

같은 작업의 회의 및 저널 버전과 같은 (2,3)과 같은 후기의 홀란 트 이분법 이론은 더 많은 것을 증명했다. 정리 1 (두 버전 모두)에 따르면 EdgeCover는 평면 정규 그래프 보다 # P-hard라고합니다 . 이를 확인하려면 홀로그램 변환을 적용해야합니다. 위에서 설명한 것처럼 정규 그래프에 대한 홀 런트 문제인 EdgeCover의 표현 은 . 여기서 은 포함합니다 $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1입니다. 또한 합니다. 이제 우리는 으로 홀로그램 변환을 적용합니다 $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (또는 관점에 따라 그 반대). Valiant의 Holant Theorem (4,5)에 따르면 문제의 복잡성은 바뀌지 않습니다 (사실, 두 문제는 모든 입력의 출력에 동의하기 때문에 실제로 동일한 문제입니다. 문제의 표현 만 변경됨) ). 이 문제에 대한 다른 표현은

여기서 는 등식 함수입니다.

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$

입력. 정리 1을 적용하려면원래 함수를

로 나누어

를

로 정규화해야합니다

이 값이 0이 아니기 때문에 문제의 복잡성을 변경하지 않는

. 그런 다음

와

값

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

참고 : Michael Kowalczyk의 논문 에서이 정리와 증명을 볼 수도 있습니다 .

EdgeCover가 (1) 전에 # P-hard로 표시되는 것을 확인하기 위해 문헌 검색을 계속할 것입니다.

(1) Jin-Yi Cai, Pinyan Lu 및 Mingji Xia ( 저널 , 프리 프린트 )의 홀로 그래픽 감소, 보간 및 경도 .

(2) 대한 이분법 $k$ $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(3) Partition functions on $k$ -Regular Graphs with $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(4) Holographic Algorithms by Leslie G. Valiant

(5) Valiant’s Holant Theorem and matchgate tensors by Jin-Yi Cai and Vinay Choudhary

— Tyson Williams
소스

Wow, thanks for pointing me to this and for taking the time to explain the vocabulary and connection to edge cover! I agree with you that (1) implicitly proves that EdgeCover is hard (and is hard even for 3-regular planar graphs). I'm also interested to know if anyone proved the #P-hardness of EdgeCover before (1), though I'm already quite happy that I have something to cite if I need to use this result (which was my main concern when asking). Thanks again for your answer!

— a3nm

@Tyson Williams: if you start from a 2-3-regular graph and contract the nodes of the partition of degree 2 then you could end up with a 3-regular multigraph, i.e., with parallel edges. Can this be fixed to show hardness on 3-regular simple graphs? More generally, this question could be asked for all the results on Holant problems, so I created a new question here cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111, because I think the issue is not restricted to this particular problem (counting edge covers). I'd be glad if you could take a look :)

— M.Monet

Ah, yes. Good observation. I am unable to remember right now what results there are for simple graphs.

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Thanks for confirming, and no worries! In my community "graph" always means "simple graph" unless stated otherwise, so I hadn't stated it explicitly in the question.

— a3nm

@TysonWilliams: after all, we have found how to get a hardness result on counting edge covers for simple graphs (that are 2-3 regular bipartite and planar) via holographic means. The details are in the latest version of my answer below, and in Appendix D of arxiv.org/abs/1703.03201. We use the hardness of counting vertex covers on 3-regular bipartite planar graphs from xia2006regular: these graphs have no self-loops, we subdivide each edge which removes parallel edges, and cai2008holographic does not create problems. (As for 3-regular graphs, as in your answer, we don't know.)

— a3nm

After some more literature search, it appears that the complexity of counting the edge covers in a graph was shown to be #P-complete in bordewich2008path, Appendix A.1. (This assumes arbitrary graphs as input, i.e., they cannot enforce any assumptions on the input graph, except that they observe that the minimal degree can be made arbitrarily large). (bordewich2008path further indicates that the result is claimed without proof in bubley1997graph.) This result predates those of Cai, Lu, and Xia referenced as (1) in Tyson Williams' answer, and it does not rely on holographic theory.

Specifically, the result relies on the #P-hardness of counting independent sets in 3-regular graphs shown in greenhill2000complexity (improving on the analogous result for graphs of degree at most 4 shown in vadhan1997complexity), and proves the result using the technique of bubley1997graph.

A stronger result, namely, the hardness of counting edge covers in a bipartite graph of degree at most four (further imposing that the edge set can be partitioned into four matchings) was studied independently in khanna2011queries, Appendix B.1, again without holographic tools. They rely on the hardness of counting independent sets in 3-regular bipartite graphs (shown in xia2006regular by a refinement of the interpolation method of vadhan1997complexity) and then they apply a refinement of the technique of bordewich2008path.

An even stronger result (hardness of counting edge covers in a bipartite 2-3 regular graph, i.e., a bipartite graph where all vertices on one side have degree 2 and all vertices on the other side have degree 3, which is additionally planar) can be shown using the results of xia2006regular and cai2008holographic. The explanations for this appear as Appendix D of the latest version of our PODS'17 paper. In this case, we checked rather carefully that the result holds for simple graphs, i.e., for graphs that have neither self-loops nor multi-edges (see the comments to Tyson Williams' answer).

For hardness on planar 3-regular graphs, an argument is given in Tyson Williams' answer, but it would seem that it allows multi-edges and self-loops in the graphs.

References:

bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Path Coupling Using Stopping Times and Counting Independent Sets and Colourings in Hypergraphs, 2008.
bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Graph orientations with no sink and an approximation for a hard case of #SAT, 1997. No open-access version seems available online. :-(
cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Holographic reduction, interpolation and hardness, 2008
greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, The complexity of counting colourings and independent sets in sparse graphs and hypergraphs, 2000
khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Queries with Difference on Probabilistic Databases, 2011.
vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, The Complexity of Counting in Sparse, Regular, and Planar Graphs, 1997. Some results probably originally appeared in a thesis, but I didn't check.
xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, #3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover is #P-Complete, 2006. No open-access version seems available online. :-( Note that the first author is also an author of (1) in Tyson Williams' answer.

Diclaimer: I only had a superficial look at these papers and I am not an expert in this field, so there may be errors in my summary above.

Thanks to an anonymous PODS'17 referee for pointing me to khanna2011queries, which is what prompted me to write this answer.

— a3nm
소스