유전 적이지만 부가적인 것은 아닌 NP- 완전한 그래프 속성?

정점 삭제와 관련하여 그래프 속성 을 닫으면 그래프 속성을 유전 이라고 합니다 (즉, 모든 유도 된 하위 그래프가 속성을 상속 함). 그래프 속성이라고 첨가제 가 분리 된 조합을 복용에 대해 닫혀있는 경우.

유전 적이지만 부가 적이 지 않은 특성을 찾기는 어렵지 않습니다. 두 가지 간단한 예 :

$\;\;\;$ (1) 그래프가 완성되었습니다.

$\;\;\;$ (2) 그래프에는 두 개의 정점 분리 사이클이 포함되어 있지 않습니다.

이 경우, 속성은 유도 된 서브 그래프에 의해 상속되지만 속성이있는 두 개의 분리 된 그래프를 가져 오면 해당 노조가 속성을 보존하지 못할 수 있습니다.

위의 두 가지 예는 모두 다결정 가능한 속성입니다 ((2)는 다소 덜 중요하지만). 더 어려운 속성을 원한다면 (2)의 패턴을 따르면서 더 복잡한 그래프 유형으로주기를 대체하여 만들 수 있습니다. 그러나 와 같은 표준 복잡성 가정 하에서 문제가 남아 있지 않은 상황에 쉽게 있습니다. 내에 머무르는 예제를 찾는 것은 사소한 것처럼 보이지만 여전히 어렵습니다. $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

질문 : 유전 적이지만 부가 적이 지 않은 (바람직하게는 자연스러운) 완전한 그래프 속성을 알고 있습니까? $NP$

— 안드라스 파라고
소스

"자연"속성에 대해 여러 가지 질문을했습니다. 이러한 질문 중 일부에 대한 동기가 무엇인지 이해하는 것이 도움이 될 수 있습니다.

— Suresh Venkat

@Suresh 저는 인위적인 개념과 반대로 문제를 자연스럽게 만드는 원인을 더 잘 이해하고 싶습니다. 자연의 개념은 이론과 현실 사이의 중요한 다리라고 생각합니다. 내가 흥미로운 것은 어떤 문제가 "자연적"인지에 대한 공식적인 정의는 없지만 사람들은 일반적으로 특정 문제가 자연적인지 아닌지에 대한 명확한 합의를 가지고 있다는 것입니다. 다른 사람들이이 문제를 어떻게 보는지 알아보기 위해이 문제에 대해 별도의 질문을 게시 할 것입니다.

— Andras Farago

답변:

I는 생각 의 정점의 분할이 존재하는지 여부를 묻는 -clique 커버 문제, 각각의 세트는 도당 유도되도록 세트, 목적하는 특성을 갖는다. $k$ $k$

분명히, 유도 된 서브 그래프를 가져와도 그러한 파티션의 최소 크기를 늘릴 수는 없습니다. 반면에 두 개의 그래프를 결합하지 않으면 분할의 결합을 각 그래프의 파편으로 가져와야합니다.

— 비니 시우스 도스 산토스
소스

마찬가지로, 정점 커버 / 지배적 인 크기의 세트는 최대 와 비슷하게 작동합니다.

k

$k$

— RB

그러나 언급 한 두 가지 문제는 고정 대한 다항식입니다 . 를 입력의 일부로 강요 하면 질문이 제기 한 의미에서 잘 정의 된 속성이되는 것을 멈 춥니 다.

k

$k$

k

$k$

— Vinicius dos Santos

대답에 명시된 바와 같이 -clique 커버 속성은 아니다 . 그래프는 파티션을 도당으로 가질 수 있지만 그 하위 그래프는이 속성을 상속하지 않을 수 있습니다. 상수 와 변수 모두에 해당 됩니다.

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

— Andras Farago

이것은 빈 파티션을 허용하여 쉽게 해결할 수 있습니다 (원래 문제가 허용하지 않는 경우이 수정 된 버전을 고려하십시오). 대신 "크기의 파벌 커버의 " "기껏 크기 고려 ".

k

$k$

k

$k$

— Vinicius dos Santos

예,이 수정으로 이제는 정답입니다! 을 고치면 이 속성은 "G 3 색의 보수입니까?"와 같습니다. (보완은 최대 3 색으로 채색 할 수 있음을 의미) 이것은 유전 적이며, 그래프 3 착색성의 알려진 NP- 완전성에 의해 실제로 NP- 완전하다. 이 속성은 또한 비 첨가제입니다. 만약 과 모두 개별적으로 3 색의 보수를 가지더라도, 분리 된 결합의 보완은 3 색으로 유지되지 않을 수 있습니다 (최대 6 가지 색상이 필요할 수 있음).

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

— Andras Farago

이 문제를 고려

그 꼭지점 세트가 두 개의 분리 된 세트로 분할 될 수 있는지를 결정 하는 그래프 주어지면 , 스웨트에 의해 생성 된 유도 된 그래프는 특성 및 나타내며 , NP- 완전하다 . $G$ $P$ $Q$

속성이 유전적인 경우에도 NP가 완료된 상태로 유지됩니다.

이제 그래프에 대한 위의 문제에 대한 해결책은 또한 유도 된 하위 그래프에 대한 해결책을 제공합니다. 그러나 G와 동일한 패밀리의 그래프를 결합하면 해당 솔루션을 사용하여 해결할 수 없습니다.

예를 들어, 분리 된 단위 간격 그래프에서 일반 그래프를 분할하면 NP가 완료되지만 가능한 모든 모서리를 합치면 (그래프를 완성) 문제가 사소하게 해결됩니다.

— 디비 아얀
소스

질문은 부가 적이 지 않은 속성을 찾습니다. 귀하의 예제 아무것도에서 모두 속성이 두 개의 그래프가 존재해야 함을 보장 할 것 같다, 그러나 그들의 해체의 조합은하지 않습니다.

— Andras Farago

그래프 의 싸이클 커버 번호를 최소 싸이클 수 으로 정의하여 (i) 각 가 의 서브 세트에 대한 싸이클 그래프 , (ii) 는 일부 존재 합니다. 나는 다음을 추측한다. $G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

(1) 경우 가 최대 사이클 커버 번호를 갖는지 결정하는 것은 NP- 완료입니다 . $k \geq 3$ $G$ $k$

(2) 의 경우 문제는 다항식입니다. 이는 Rosenstiehl 및 Tarjan의 "가우스 코드, 평면 해밀턴 그래프 및 스택 정렬 순열"에 따라야합니다. $k = 2$

(1)이 사실이면 유전 적이지만 명백하게 부가적인 것은 아닌 속성을 제공하므로 질문에 대답해야합니다.

(추가 된 내용 : 추측 (2)는 동질성에도 불구하고 Szekeres와 Seymour의 "더블 사이클 커버 추측"과 다릅니다).

— 수퍼 8
소스

이 부동산은 유전이 아닙니다. 정점을 제거하면 모든 모서리를 덮는 데 필요한주기 수가 증가 할 수 있습니다. 제거 된 정점이 많은 모서리를 덮는 데 사용 된주기를 제거 할 수 있기 때문입니다. 가장 간단한 예는 전체 그래프가 사이클 일 때입니다. 정점이 제거되면 사이클이 남지 않기 때문에 사이클 커버가 불가능합니다.

— Andras Farago

내 정의에 따르면 각 사이클이 의 하위 그래프 일 필요는 없습니다 . 즉, 아닌 추가 가장자리가 포함될 수 있습니다 . 이 정의를 사용하면 속성이 유전됩니다. 꼭짓점 제거 할 때 결과 그래프의주기 표지를 얻으려면 를 포함하는 모든주기에서 를 "우회" 하면됩니다.

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

— Super8

고마워, 재미있어 보여 추측 (1)이 고정 대해 입증된다면 , 실제로 유전 적이지만 부가적인 것은 아닌 NP- 완전한 그래프 속성을 얻을 수 있습니다. 그러나 분리를 통해 결합에서 두 그래프를 포함하는 데 사용되는주기는 두 그래프 사이에 모서리를 추가하여 더 적은 주기로 결합 할 수 없는지 확인해야합니다.

k

$k$

— Andras Farago