SAT 인스턴스의 솔루션 세트를 간결하게 표현

이 질문은 이전 질문에 대한 András Salamon과 Colin McQuillan의 기여를 읽은 후 Monotone-2CNF 공식 계산 솔루션을 읽은 후에 떠 올랐습니다 .

EDIT 30 ^일 2011년 3월
추가 질문 N ° 2

EDIT 29 ^번째 2010년 10월
질문의 개념을 통해이를 공식화 안드라스 제안 후 고쳐 솔루션 세트의 좋은 표현 (나는 그의 개념을 약간 수정 한). 를 변수를 가진 일반 CNF 공식

이라고하자 . 하자 자사의 솔루션 세트합니다. 분명히, 지수 일 수 있습니다 . 허락하다 $F$ $n$ $S$ $|S|$ $n$ 은 의 표현입니다. 은다음 사실이 모두 충족되는 경우에만훌륭하다고합니다. $R$ $S$ $R$

다항식 크기는 입니다. $R$ $n$
은다항식 지연으로 의 솔루션을 열거 할 수 있습니다. $R$ $S$
은 결정할 수 있습니다다항식 시간으로 (즉, 모든 솔루션을 열거하지 않고). $R$ $|S|$

다항식 시간 에 모든 공식에 대해 그러한 을 구축하는 것이 가능하다면 좋을 것 입니다. $R$

질문 :

그런 멋진 표현이 존재할 수없는 수식 패밀리가 있음을 입증 한 사람 이 있습니까?

의 표현 과 나타내는 대칭 사이의 관계를 연구 한 사람이 있습니까? 직관적으로, 대칭 컴팩트하게 표현하기 위해 도움이 그들이 솔루션의 명시 적 표현을 피하기 때문에 부분 집합 시 실제로 하나의 솔루션으로 요약된다 (모든 즉에서 $S$ $F$ $S$ $S' \subset S$ $S'$ 당신은 다른 모든 복구 할 수 있습니다 적절한 대칭을 적용함으로써 이므로 모든 자체는 전체를 대표합니다 $s_i \in S'$ $s_j \in S'$ $s_i \in S'$ ) $S'$

— 조르지오 카메라 니
소스

질문을 조금 제한해야한다고 생각합니다. 언급 한 바와 같이, 공식

자체는 다항식 크기의

표현이다 . 그러나 이것은 분명히 이전 문제에서 오는 동기 부여에 도움이되지 않습니다. 어쩌면 당신은 어떤 바인딩 (다항식을?) 원하는 재현의 복잡성에

(또는 어쩌면 하나의 요소

, 또는 컴퓨팅

F

$F$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

| S |

$|S|$ ) 다항식 크기의 표현에서 ...

— 여호수아 Grochow

@Joshua : 감사합니다. 나는 명확히하기 위해 질문을 풍부하게했습니다. 지금 괜찮다면 알려주십시오.

— Giorgio Camerani

BTW, 솔루션 세트를 나타내는 한 가지 방법은 "AND / OR 검색 트리"입니다. 각 인스턴스는 트리의 리프이며 모든 솔루션을 열거하지 않고 계산을 수행 할 수 있습니다.

— 야로슬라프 불라 토프

@Yaroslav : 재미있는 ... 더 자세히 설명해 주시겠습니까?

— Giorgio Camerani

답변:

언급 된 바와 같이 (개정 3), 그 질문은 간단한 답을 가지고있다.

그 이유는 AND, OR 및 NOT 게이트가있는 부울 회로가 제공하는 매우 제한된 표현 클래스에 대해서도 사소한 하한은 알려져 있지 않기 때문입니다. 분명히 를 나타내는 회로 는 암시 적으로 나타내며 입력을 회로로 변경하여 솔루션을 쉽게 열거 할 수 있습니다. $F$ $S$

모노톤 또는 일정한 깊이 회로와 같이 훨씬 제한된 표현의 경우 지수 하한이 알려져 있습니다. CNF 또는 DNF 형태의 공식을 표현하기위한 지수 하한도 있지만, 일정한 깊이 회로의 특수한 경우로 볼 수 있습니다. 마지막으로, BDD 표현은 간단한 형식의 DNF로 볼 수 있지만 BDD가 가변 순서에 대해 지수 크기를 요구하는 공식이 있습니다.

질문을 더 정확하게하려면 @Joshua의 답변을 자세하게 고려하고 "모든 단일 솔루션을 열거하는 것이 간단합니다"라는 의미를 명확히하십시오.

개정 4의 경우 BDD 크기에 대한 설명을 참고하십시오. 당신이 요구하는 것 중 일부는 BDD보다 DNF 공식이 더 간결하게 표현되어 있습니까? "BDD 보자 $B$ 는 초 다항식 크기를 가짐"을 " 변수 순서에 관계없이 와 동일한 기능을 나타내는 모든 BDD는 초 다항식 크기를 가짐"을 의미 하고, "좋은 표현"은 "다항식 지연과 함께 솔루션을 열거 할 수있는 표현"을 의미한다고하자. 이보다 구체적인 질문은 다음과 같습니다. $B$

BDD가 초 다항식 크기를 갖는 반면 다항식 크기를 갖는 수식과 멋진 표현이 있습니까?

이것은 당신이 요구하는 것의 본질을 포착합니까?

— 안드라 살 라몬
소스

@ András : 설명 섹션을 추가했습니다.

— Giorgio Camerani

@ András : 내 질문에 정확성이 없으면 사과드립니다. 귀하의 문장 "BDD 계열에 비해 DNF 공식의 컴팩트 표현이있다?" 내가 요구하는 것의 본질을 포착합니다. 모든 공식 (초 다수의 솔루션을 갖는 것 포함)에 대해보다 간결한 표현이 가능해야한다.

— Giorgio Camerani

@ András : 안녕하세요, 그것에 대해 조금 더 생각했습니다. 내가 묻는 것의 본질을 더 잘 포착하는 것은 "모든 공식에 대해 다항식 크기를 갖는 멋진 표현이 있습니까?"라는 질문입니다. . 이러한 표현은 BDD와 BDD의 동작 방식에 관계없이 "최고의 것"이어야합니다. 다항식 지연에 대한 제안은 내가 생각한 아이디어와 완벽하게 일치합니다.

— Giorgio Camerani

@Walter : 해당 형식에 따라 질문을 편집하거나 새 질문을 게시 할 가치가 있습니다.

— András Salamon

@ András : 나는 그 질문을 되풀이했다. 멋진 표현 의 정의는 약간 변경되었습니다 (저는 그것이 문헌에 잘 확립 된 용어가 아니라 귀하의 발명의 용어라고 가정했습니다. 그렇지 않습니까?).

— Giorgio Camerani

[이 답변은 2010 년 10 월 29 일 개정 6 이전 버전에 대한 답변입니다.]

$R(\varphi)$ $S(\varphi)$ $\varphi$ $R$ $|R(\varphi)| \leq poly(n)$ $\varphi$ $n$ $A$ $A(R(\varphi)) = S(\varphi)$ $A$ $R(\varphi))$ $poly(n, |S|)$

$S$ $R$ $A$ $|S| \leq poly(n)$ $R(\varphi) = (0, S)$ $|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ $R(\varphi) = (1, \varphi)$ $A(0, S)$ $S$ $A(1, \varphi)$ $S$ $\varphi$ $|S| = 2^{\Omega(n)}$ $O(|S|)$

$R$ $A$ $p$ $S$ $poly(n)$ $S$ $p$ $|S|$ $p$ $A$ $|S|$

$R$ $poly(n, |\varphi|)$ $P \neq PromiseUP$ $\varphi$ $A(R(\varphi))$ $\varphi$ $poly(n)$

— 조슈아 그로 호프
소스

R

$R$

A

$A$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1,\varphi)$

R

$R$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

S

$S$

n

$n$

O (| S |)

$O(|S|)$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

φ

$\varphi$