술어 UGC 경도

배경 :

Subhash Khot의 원본 UGC 논문 ( PDF )에서 3 항 알파벳에 대해 모든 형식이 동일하지 않음 (a, b, c) 형식의 제약 조건을 가진 주어진 CSP 인스턴스가 1을 만족하는 과제를 인정하는지 여부를 결정하는 UG- 경도를 증명합니다. - $\epsilon$ 제약의 여부를 satisying 어떤 과제가 존재하지 $\frac{8}{9}+\epsilon$제약 임의로 작은 대$\epsilon > 0$.

이 결과의 조합에 대한 일반화되어 있는지 궁금 해요 에 대한 -ary 제약 ℓ ≥ 3 및 크기의 가변 도메인 K ≥ 3 ℓ ≠ K ≠ 3 . 그건,$\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

질문 :

근사 결과 공지의 경도는 술어 있는가 에 대한 X I ∈ G F ( K ) 에 대한 ℓ , K ≥ 3 과 ℓ ≠ K ≠ 3 ? $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

특히 값의 조합에 관심이 있습니다 . 예를 들어, (하지 않은 모든 동등 술어 X 1 , ... , X (K) 의 경우) X 1 ... , X K ∈ G F ( K ) .$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

나는 위에서 주장한 것이 실제로 알려져 있음을 깨달았다.

들면 임의 K ≥ 3 , 이것은 (용지 실제로 일반적인 대해 이야기 "3 착색성 -3- 균일 하이퍼 그래프 컬러링 경도"Khot의 FOCS 2,002 용지에 K 제목 만 -3- 착색성 경우에 대해 이야기이지만) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

들면 및 K ≥ 2 , 실제로 강한 경도가 공지되어있다. (다른 단어의 모든 NAE 제약 조건을 만족하는 변수에 대한 두 값의 할당 사실이있다하더라도 ℓ의 ,를 찾기 위해 여전히 NP-하드 -uniform의 하이퍼 그래프는 어떤 단색 하이퍼 간선없이 2 색을 사용하여 색 수)있다가 도메인 크기에서 할당 K 만족하는 적어도 1 - 1 / k 개의 ℓ - 1 개 + ε NAE 제약 (임의의 상수 ε > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). 이것은 하이퍼 그래프 2- 컬러링에 대한 알려진 근사치 결과가 건전성 사례에서 강한 밀도 진술을 제공한다는 사실로부터 쉽게 이어진다. 이 공식 성명서는 Ali Sinop과 함께 SODA 2011 논문에 "낮은 색도의 경계도 (하이퍼) 그래프에서 독립적 인 세트를 찾는 복잡성"(SODA 최종 버전의 Lemma 2.3, ECCC에서 사용 가능한 이전 버전의 Lemma 2.8)과 함께 나타납니다. http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

NAE-3SAT에 대한 검색에서이 페이지를 방문했습니다.

나는 확신 문제에 대해 당신이 요구하는 것을, 그것은해야 NP-하드는 대부분의 경우 인스턴스가 만족할 경우 말해하거나 제약의 비율이 충족 될 수있다. 즉, 만족할만한 경우에 대해 딱딱한 경도 결과 (임의의 과제를 단순히 선택하는 것과 일치) 와 UGC가 필요 하지 않습니다 .$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

들면 와 ℓ ≥ 4 , 이것은 (K 대한 다음 세트 분할을 감소시킬 수 4 세트 - 분할을위한 계수의 Hastad 8분의 7 + 엡실론 inapproximability 결과로부터 다음 K > 4 ). 부정이 괜찮다면, Max ( ℓ - 1 ) -SAT에 대한 그의 단단한 경도 결과를 사용할 수도 있습니다 .$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

들면 , Khot은 "3 착색성 -3- 균일 하이퍼 그래프 컬러링 경도.의"FOCS 2,002 종이이 입증 (그는 원래 UGC 가정을 제거했습니다.)$k=\ell=3$

들어 및 임의의 K ≥ 3 , Engebretsen 나는? ". : 150-178 (2004) 항상 쉬운 두 개의 변수를 통해 제약 조건 만족 임의의 구조체 알고리즘 (25) (2)는"이러한 결과를 증명했다. 그러나 우리의 결과에는 "접기"가 필요하다고 생각합니다. 즉, 제약 조건은 일부 상수 a , b 의 경우 실제로 NAE ( x i + a , x j + b , x k ) 형식입니다 . (이것은 부울 변수의 부정을 허용하는 유사체입니다.)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

일반적인 경우에, 나는 이것이 어디서나 쓰여 졌는지 모른다. 그러나 실제로 필요한 경우 무언가를 찾거나 주장을 확인할 수 있습니다.

Prasad Raghavendra in his STOC'08 Best Paper proved, assuming the Unique Games Conjecture, that a simple semidefinite programming algorithm gives the best approximation for any constraint satisfaction problem (including NAE) with constraints on constant number of variables each and with constant alphabet. To actually know what is the hardness factor for NAE, you need to understand how well the simple algorithm does for it, i.e., prove an integrality gap for the program. I don't know whether someone already did that for NAE in its full generality, or not.