선형 프로그래밍을위한 강력한 다항식 알고리즘이 존재합니까?

알고리즘 설계의 성배 중 하나는 선형 프로그래밍을위한 강력한 다항식 알고리즘을 찾는 것입니다. 즉, 런타임은 변수 및 제약 조건에서 다항식에 의해 제한되고 매개 변수 표현의 크기와 무관합니다 (가정 가정) 단가 산술). 이 질문을 해결하면 선형 프로그래밍을위한 더 나은 알고리즘 이외의 의미가 있습니까? 예를 들어, 그러한 알고리즘의 존재 / 존재가 지오메트리 또는 복잡성 이론에 어떤 영향을 미칠까요?

편집 : 어쩌면 결과로 의미하는 바를 분명히해야합니다. 나는 수학 결과 또는 조건부 결과, 사실로 알려져 의미를 찾고 있어요 지금 . 예를 들어 "BSS 모델에서 LP에 대한 다항식 알고리즘은 대수 복잡성 클래스 FOO와 BAR을 분리 / 축소합니다"또는 "강력 다항식 알고리즘이 없으면 폴리 토프에 대한 그런 추측을 해결합니다"또는 "a 흥미로운 결과를 가질 것 인 LP로 공식화 할 수 있습니다 문제 X에 대한 강력 다항식 알고리즘 저쩌구 ". 허쉬 추측은 단순한 예가 다항식 인 경우에만 적용된다는 점을 제외하고는 좋은 예입니다.

— 이안
소스

또한이 결과를 보여주기 위해 사용 된 증명 기술이 장기적인 영향의 결과보다 훨씬 더 흥미로울 수 있습니다.

— Suresh Venkat

답변:

이것은 패리티 및 평균 지불 게임이 P에 있음을 보여줍니다 . Sven Schewe를 참조하십시오 . 패리티 및 지불 게임에서 선형 프로그래밍까지. MFCS 2009.

— 라훌 사 바니
소스

우수한. 나는 이것을 하나 이상의 +1을 줄 수 있기를 바랍니다. 이것은 매우 멋진 결과입니다.

— Suresh Venkat

누군가 LP에 대한 강력한 다항식 알고리즘이 이것을 암시하는 방법을 자세히 설명 할 수 있습니까? Schewe는 기하 급수적으로 큰 숫자로 LP의 다항식 크기 인스턴스를 만듭니다. 벌금. 이제 우리는 강력한 다항식 시간 알고리즘을 실행합니다. 그러나이 알고리즘이 수행하는 산술 연산을 시뮬레이션 할 필요는 없습니까? 다항식 시간을 소비하지 않고이 시뮬레이션을 어떻게 수행합니까? (숫자는 두 배의 지수임을 기억하십시오. 중국의 나머지 트릭을 수행 할 수 있다고 생각하지만 다항식 시간 에이 방법으로 숫자를 비교할 수 있습니까?).

— slimton

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

이전 의견에 대한 설명 : LP에 대한 다항식 알고리즘이 강하면 BSS 모델에서는 다항식입니다.이 경우 종이는 패리티 및 지불 게임도 BSS 모델의 P에 있음을 암시합니다.

— Ian

@Ian : 다른 말로하면 :이 답변은 약간 오해의 소지가 있었지만 (올바른 답변으로 받아들이는 것을 막지는 못했습니다).

— slimton

$(d n)^{Ackerman(10000)}$ 예를 들어, 타원체 알고리즘은 이론적 의미 외에도 내부 포인트 방법의 개발로 이어지며 (일부 경우 심플 렉스 알고리즘보다 빠름) 이로 인해 두 가지 접근 방식을 모두 수행하여 수행 할 수있는 작업의 최대 한계를 좁히기 때문에 실제로 속도가 크게 향상됩니다.

— 사리 엘 하 필링
소스

그러나 이러한 조건은 거의 모든 이론적 결과를 유지합니다. 런타임에 따라 유용하거나 유용하지 않을 수 있으며 결과의 기술 / 아이디어가 향후 발전으로 이어질 수 있습니다.

— Ian

실제로는 아닙니다. Hirsch 추측의 어떤 형태가 사실이고 그 증거가 건설적인 것이라면 LP에 대한 더 빠른 솔버로 이어질 것입니다. 요컨대, 질문이 구체적이면 그 의미가 명확하고 질문이 광범위하면 아무 것도 초래하지 않을 수 있습니다. 또는 다르게 말하면 LP에 대한 다항식 시간 알고리즘의 유일한 결과는 지금보다 문제를 더 잘 이해한다는 것입니다.

— Sariel

지오메트리의 결과는 다음과 같습니다. 심플 렉스 알고리즘의 변형 (무작위 화 또는 결정 론적)에 대한 다항식 경계는 폴리 토프 그래프의 직경에 다항식 경계를 나타냅니다. 이것은 Hirsch 추측 의 "다항식 버전" 이 사실임을 암시 합니다.

— 시바 킨 탈리
소스

그러나 LP를위한 강력한 다항식 시간 알고리즘이 심플 렉스 방법을 거쳐야한다고 믿을 이유가 없습니다. 지금까지 가장 잘 알려진 방법 (하위 지수)은 랜덤 샘플링 + 재귀 전략을 사용합니다.

— Suresh Venkat

죄송합니다. 나는 요점을 놓쳤다.

— 시바 킨 탈리

심플 렉스가 다항식 일 경우에만 유지됩니다. 더 일반적으로 적용되는 결과를 찾고 있습니다. 다항식 허쉬 추측은 거짓이지만 다른 알고리즘은 강력하게 다항식이거나 다항식 허쉬 추측은 사실이지만 단순은 다항식 시간에 짧은 경로를 찾을 수 없기 때문에 지수입니다.

— Ian

@Suresh : 실제로, 당신이 언급 한 부분 지수 랜덤 샘플링 + 재귀 전략 (Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, 맞습니까?) 이 이중 심플 렉스 알고리즘 이라고 확신 합니다. (그러나 이것이 귀하의 요점과 모순되지는 않습니다.)

— Jeffε

아 잠깐만 Michael Goldwasser가 SIGACT 기사에서 오래 전에 그것을 작동시키지 않았습니까? 흠. 이제 가서 발굴해야합니다.

— Suresh Venkat