평면 그래프의 어떤 특성이 더 높은 차원 / 하이 그래프로 일반화됩니까?

평면 그래프 횡단 에지를 구비하지 않고, 평면에 내장 될 수있는 그래프이다.

하자 수 유전율 즉 하이퍼 그래프 등 모든 간선 가지고 있다는 크기 K--uniform 하이퍼 그래프.$G=(X,E)$$k$

이있었습니다 할 몇 가지 작업 (클러스터링의 컨텍스트 또는 다른 응용 프로그램) 평면에 하이퍼 그래프를 삽입에 있지만, 종종, 데이터는 단지 비행기에 포함 할 수 없습니다. 해결책은 약간의 손실로 그것을 강요하거나 여기에 제안 된 것처럼 더 높은 차원에 포함시킬 수 있습니다.

평탄성 (IMO 적어도)의 자연 확장하는 " - 간단한 임베딩"(이를위한 공지 된 다른 이름이 존재?)의 G : 매립 M : X → R의 K , 접속 표면이 존재하도록 각 하이퍼 에지의 모든 꼭짓점은 끝점을 제외하고 교차하지 않습니다.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(각 표면이 원하는 가장자리를 그릴 수있는 가장자리 인 2D에서 아날로그를 생각하십시오).

다음은 3- 균일-하이퍼 그래프의 유효한 3- 단순 임베딩의 예입니다. (각 정점은 포함 된 하이퍼 에지에 의해 색이 지정되며 각면은 하이퍼에지를 나타냅니다).

3- 단순 그래프의 또 다른 예는 5 개의 정점 대한 완전한 3- 균일-하이퍼 그래프입니다 . R 3 에서 2D 평면에 있지 않은 4 점을 가져 와서 삼각형 피라미드 (볼록 껍질)를 만들고 피라미드의 중심에 다섯 번째 점을 배치하여 다른 정점에 연결하십시오.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

마찬가지로, 6 개의 정점에 대한 완전한 3- 균일-하이퍼 그래프에는 3 개의 단순 포함이없는 것 같습니다.

그래프가 평면 일 때 어려운 문제에 대한 개선 된 알고리즘을 허용하는 평면 그래프의 매우 유용한 속성이 있습니다. 불행히도 때로는 데이터의 크기가 낮지 만 데이터는 평면적이지 않습니다. 평면 그래프의 어떤 속성이 일반화되는지 이해하면 동일한 도구로 더 높은 차원에 적용 할 수있는 알고리즘을 파악하는 데 도움이 될 것입니다.

유용 할 수있는 속성의 예 는 모든 평면 그래프를 모든 모서리가 직선 선분으로 포함 할 수 있음을 제안하는 Fáry 's Theorem 에서 나옵니다 .

$k$

일반화 할 수있는 다른 속성이 있습니까? 예를 들어 평면 그래프에 대한 오일러의 공식 을 어떻게 든 더 높은 차원으로 일반화 할 수 있습니까? (현재로서는 그 의미가 무엇인지 잘 모르겠습니다).

첫 번째로, 귀하의 초점은 전기 사진에 관한 것 같지만, 전기 사진 삽입에 관한 대부분의 문헌은 단순 복합물을 다루는 것을 선호한다고 생각합니다. 이 질문에 대한 좋은 참고 자료는 Matousek, Tancer 및 Wagner 의이 논문 입니다.

파리의 정리는 더 높은 차원을 유지합니까?

대답은 '아니오.

실제로 3 가지 다른 임베드 가능성 개념이 있습니다. 직선, 단편 선형 및 연속 (하이퍼) 에지 포함. 비행기에서 그들은 모두 일치하지만 일반적으로 그렇지 않습니다. 직선 임베딩과 관련하여 첫 번째 반례는 Brehm 때문입니다.

Brehm, U. (1983). 다면체 삼각 측량 된 뫼비우스 띠. Proc. 아 메르 수학. Soc., 89 (3), 519–522. 도이 : 10.2307 / 2045508

그리고 몇 가지 예는 matroid 이론의 결과를 사용하여 수행되었습니다.

PL과 토폴로지 임베딩의 차이점에 대해서는 Hauptvermutung 에서 발생하는 일반적인 반례의 결과입니다 . 차원 5 이상에서는 조각 선형 구조를 허용하지 않는 토폴로지 영역이 있습니다.

일반화 할 수있는 다른 속성이 있습니까? 예를 들어 평면 그래프에 대한 오일러의 공식을 어떻게 든 더 높은 차원으로 일반화 할 수 있습니까?

$k$

마찬가지로, 6 개의 정점에 대한 완전한 3- 하이퍼 그래프에는 3 개의 단순 임베딩이없는 것 같습니다.

실제로 이것은 반 캄펜 플로레스 장애물에서 비롯된 것입니다. 이에 대한 자세한 내용은 Matousek의 Borsuk Ulam Theorem 사용을 참조하십시오.

오, 오. 당신은 매우 조심하고 싶습니다. 3D에서 볼록한 폴리 토프의 접촉 그래프는 모든 그래프를 실현할 수 있습니다. 놀랍게도, 크리크는 동일한 폴리 토프 (마음이 흔들림)의 n 개의 회전 및 병진 된 n 개의 폴리 토프에 의해 실현 될 수있다. 이 논문을보십시오 :

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

이것은 이미 불쾌한 그래프를 3D 삼각형의 교차 그래프로 인코딩 할 수 있음을 의미합니다. 이 백서의 섹션 4를 참조하십시오.

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, 기하학적 교차 그래프가 어떻게 작동하는지 이해하려고 노력하여 비슷한 버전의 문제에 관심이 있습니다.

슈나이더 정리 (Schnyder Theorem)는 멘데스 (Mendez)에 의해 임의의 단순 복합물로 확장되었다는 점에서 그래프가 평면형이라고 기술하고있다. 이상하게도 비슷한 제목을 가진 훨씬 더 오래된 논문이 있습니다.

매우 중요한 속성 : 트리 폭 이중성.

예 : 살펴보기 : Frederic Mazoit의 초폭 그래프의 트리 너비와 표면 이중성,

초록은 다음과 같습니다.

그래프 마이너스 III에서 Robertson과 Seymour는 "평면 그래프의 트리 너비와 기하 이중의 트리 너비는 거의 같을 것입니다. 그들은 이것에 대한 증거를 결코주지 않았다. 이 논문에서, 우리는이 설명이 일반 표면에 자서전을 삽입하는 것에 대한 일반화를 증명하고, 우리의 경계가 빡빡하다는 것을 증명한다.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf