강하게 연결된 자서 정리

가중 가장자리가있는 강하게 연결된 digraph G가 주어지면 G의 최소 강력 연결 하위 그래프 (MSCS)의 일부가 아닌 가장자리를 식별하고 싶습니다.

이러한 에지를 찾는 한 가지 방법은 수정 된 Floyd-Warshall 알고리즘입니다. Floyd-Warshall 알고리즘을 사용하여 정점 i에서 j로가는 데 가장 적합한 옵션이 아닌 모서리를 식별 할 수 있습니다. 이 노드는 둘 이상의 다른 모서리로 바꾸는 것이 더 좋기 때문에 MSCS의 일부가 될 수 없습니다.

Floyd-Warshall 가지 치기 기술은 가장자리 무게가 크게 변할 때 아주 잘 작동하지만 가장자리 무게가 비슷하지만 크기가 크면 매우 좋지 않습니다.

크고 비슷한 날 무게에 효과적인 가지 치기 방법을 알고 있습니까? 이 문제가 내가 알지 못하는보다 일반적인 문제에 해당합니까? 이런 종류의 가지 치기가 문헌에서 이전에 연구 되었습니까?

가장자리 가중치는 양의 정수라고 가정합니다. 간선 가중치 가있는 유향 그래프 G 가 주어진 경우, e 가 최소 가중치로 연결된 G의 스패닝 하위 그래프에 속하지 않는 경우 간선 e를 중복 이라고합니다 .

우리는 P = NP가 아니라면, 주어진 웨이트 엣지가있는 한 주어진 직접 그래프에서 항상 여분의 엣지를 찾는 다항식 시간 알고리즘은 없다고 주장합니다. 더 정확하게:

정리 . 유향 그래프 감안할 때 G 에지 가중치를, 중복의 가장자리를 찾기 위해 NP-어렵다 G 또는 선언 G가 중복 가장자리를하지 않습니다.

증거 . 중요한 관찰은 G 에 고유 한 최소 가중치의 강력하게 연결된 스패닝 서브 그래프가있는 경우 중복 에지를 하나씩 제거하여 해당 서브 그래프를 계산할 수 있다는 것입니다. 따라서 독창성이 최소 가중치의 강력하게 연결된 스패닝 서브 그래프 문제를 더 쉽게 만들지 못한다는 것을 보여 주어야하지만 이것은 다음 Lemma에 의해 증명됩니다. QED .

레마 . 에지 가중치를 갖는 유향 그래프 G 가 주어지면, G 가 고유 한 최소 가중치의 강하게 연결된 스패닝 서브 그래프를 가질 것이라는 약속 하에서도 G 의 최소 ​​가중치의 강하게 연결된 스패닝 서브 그래프의 가중치를 계산하는 것은 NP-hard 입니다.

증거 . 마찬가지로 당신이 알고 , 약속이없는 문제는 (도 단위 중량 케이스) NP-하드는 해밀턴 회로 문제에서 감소하는 것입니다. 약속의 문제에 대한 약속없이 문제를 줄입니다.

G 를 간선 가중치가있는 유 방향 그래프라고 하자 . G 의 모서리 에 e ₀ , e ₁ ,…, e _{m -1을} 레이블하십시오 . 여기서 m 은 G 의 모서리 수입니다 . 보자 승 _내가 가장자리의 주어진 무게는 될 전자 _전을 . 새로운 가중치 w ' _i = 2 ^m w _i +2 ^i로 하자 . 그런 다음 새 가중치가있는 G 에 고유 한 최소 가중치의 강력하게 연결된 스패닝 하위 그래프 가 있는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 최소 무게를 확인하는 것도 쉽습니다W 의 강하게 연결된 서브 그래프의 스패닝 G 원래 가중치를 최소 가중치로 계산 될 수 W '에서 G 로 새 가중치 W = ⌊ W / 2' ^m ⌋. QED .