정지 문제를 줄임으로써 결정 불가능한 증거

결정 불가능 성을 증명하는 일반적인 방법은 정지 문제, 1 차 논리의 유효성, 디오 판틴 방정식의 만족도 등과 같은 RE- 완전 문제를 줄이는 것입니다.

재 완성 가능하지만 재결정 할 수없는 결정 불가능한 문제가있는 것으로 알려져 있지만, 이는 인공적인 구조 (즉,이 "밀도"결과를 보여주기 위해 정의 된 집합)입니다.

RE- 완전 문제를 줄이지 않고 어떻게 결정 불가능 성을 증명할 수 있을까요? 대각선?

Kolmogorov의 복잡성은 계산 불가능하다는 것을 직접적으로 보여줄 수있다. 예를 들어 Sipser, 3 판, 문제 6.23 참조.

CONSISTENT GUESSING 문제라고 부르는 것을 고려하십시오.

튜링 머신 대한 설명이 입력으로 제공됩니다 .$M$

• 경우 공 테이프에 받아 수락해야합니다.$M$

• 빈 테이프에서 거부 하면 거부해야합니다.$M$

• 이 빈 테이프에서 영원히 실행 되면 수락하거나 거부 할 수 있지만 두 경우 모두 중단해야합니다.$M$

(물론 이것은 언어가 아니지만 약속 문제의 계산 가능한 아날로그와 비슷합니다.)

이제 Turing의 원본 ​​증명을 수정하여 일관성있는 추측이 결정 불가능하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 (나는 그것을 당신의 연습으로 남겨 두겠습니다).

다른 한편으로, 정지 문제에서 일관된 추측으로 축소 가 없음 을 보여줄 수도 있습니다. 즉, 모든 정지하는 TM에 대해 올바른 수락 / 거부 답변을 반환하지만 그 답변을 갖는 오라클 를 구성 할 수 있음을 보여줄 수도 있습니다 정지하지 않는 TM의 경우 정지 문제에서 까지 가능한 모든 감소를 제거합니다 . 따라서 일관된 GUESSING은 실제로 계산 가능한 문제와 중지 문제 사이의 어려움에서 중간으로 간주되어야합니다.$A$$A$

당신이 찾고있는 것이 a) 알려진 완전한 문제로부터의 감소 또는 b) 직접적인 대각선 화 (다양한 의견이 당신을 나타내는)가 아니라는 증거 인 경우, 운이 나쁘다는 것을 알고 있습니다. 내가 아는 모든 증거는 Aaronson과 Kjos-Hanssen이 제공 한 다른 훌륭한 답변을 포함하여 축소가 아니라는 것입니다.

그리고 이러한 모든 대각선 화는 본질적으로 동일한 증거 입니다. 그중 일부는 증거에서 약간 더 강하고 약한 진술을 산출하는 약간의 변형이지만, 증거 자체는 일반적으로 매우 약간의 변형입니다. (이러한 모든 증거는 본질적으로 카디널리티에 대한 Cantor의 원래 증거와 동일합니다. 이는 Godel과 Chaitin의 불완전성에 대한 증거와 동일합니다. 요점은 어떤 종류의 역 수학에서 일종의 이론으로 공식화 할 수 있을지 궁금했다.

그러나 예를 들어 정지 문제의 결정 불가능 성을 입증하는 데 사용되는 사선 화와 실제로, 실제로, 아마도 아마도 다른 사선 화인 다른 진술들 (일반적으로 다른 풍미에 대한)의 증거가 있다는 것이 지적 될 가치가있을 수 있습니다.