효율적으로 N 비트를 얻는다! ?

감안 과 M 은 얻는 것이 가능하다 M 의 '(모든 작은 염기 또는 숫자) 번째 비트 N을 ! O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) 의 시간 / 공간 에서 p ( x , y ) 는 x 와 y의 일부 다항 함수 입니까?$N$$M$$M$$N!$$O( p( ln(N), ln(M) ) )$$p(x, y)$$x$$y$

을 감안할 때, 즉 , M = 2 μ를 (와 N , M ∈ Z를 찾기가 비트) 2 μ 의 ( 2 η를 ) ! 에서 O ( P ( η , μ ) ) .$N = 2^\eta$$M = 2^\mu$$N$$M \in \mathbb{Z}$$2^\mu$$(2^\eta)!$$O( p(\eta, \mu) )$

참고 : 나는 mathoverflow.net 에서 이것을 요청했으며 아무런 답을 얻지 못했기 때문에 교차 게시했습니다.

다른 사이트에 대한 의견 에서 Gene Kopp은 Stirling의 근사법을 사용하여 모듈 식 산술 및 고차 수 비트를 수행하여 하위 차수 비트를 효율적으로 계산할 수 있다고 지적 하므로이 질문은 실제로 '중간 차수 비트를 얼마나 효율적으로 계산할 수 있습니까?' .

Dick Lipton은 2009 년부터 팩토리얼 함수와 팩토링 간의 관계에 대한 아름다운 글을 가지고 있습니다. 이 질문과 관련이없는 것이 많이 있지만 한 가지 중요한 점은이 정리입니다.

만약 는 O ( log c n ) 단계 의 직선 산술 계산으로 계산할 수 있으며 , 다항식 크기 ​​회로가 포함됩니다.$n!$$O(\log^{c} n)$

나는 이것이 당신의 질문, 특히 당신이 언급 한 시간 안에 질문에 대답하기 어려울 것이라는 증거라고 생각합니다.

$p$

$p$$(p^2)$$p^2$$p$$N!$$X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$$\log_p(N!)$$\ln N! \approx N \ln N - N$$p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$$1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$$\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$$i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$$N!$$p$