솔루션의 고유성으로 인해보다 쉽게 ​​찾을 수있는 예

복잡성 클래스 는 문제로 구성되는데, 이는 계산 경로가 최대 하나 인 다항식 비 결정적 튜링 머신으로 결정할 수 있습니다. 즉, 솔루션 은 이러한 의미에서 고유 합니다. Valiant-Vazirani 정리에 따르면 이는 의미 하기 때문에 모든 문제가 있을 가능성은 거의 없습니다 .N P U P P N P = R $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

반면, 문제는 - 완료된 것으로 알려져 있지 않으므로 , 고유 한 솔루션 요구 사항으로 인해 여전히 쉽게 해결할 수 있습니다.N $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

고유성 가정이 더 빠른 알고리즘으로 이어지는 예를 찾고 있습니다.

예를 들어, 그래프 문제를 살펴보면 그래프에 고유 한 최대 도수 가 있음을 알고 있으면 그래프의 최대 도수가 더 빨리 발견 될 수 있습니까 (아마도 지수 시간에) 독특한 colorability, 독특한 Hamiltonian 경로, 독특한 최소 지배 세트 등은 어떻습니까?$k$

일반적으로 모든 완전 문제 의 고유 한 솔루션 버전 을 로 축소하여 정의 할 수 있습니다 . 고유성 가정을 추가하면 알고리즘이 더 빨라진다는 사실이 알려져 있습니까? (여전히 지수로 유지됨)U $\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT는 그러한 문제 중 하나 일 수 있습니다. 현재 Unique 3-SAT의 최고 상한은 일반 3-SAT보다 기하 급수적으로 빠릅니다. (지수의 감소는 작지만 속도는 기하 급수적입니다.) 독특한 사례의 기록 보유자는 Timon Hertli 의이 논문 입니다.

Hertli의 알고리즘은 중요한 기반으로 구축 PPSZ 알고리즘 에 대한 Paturi, Pudlák, 삭스, 그리고 젠의 난 여전히 가장 빠른이라고 생각 -sat, (도 볼 이 백과 사전 기사). 원래의 분석은 때 일반 -SAT 보다 고유 한 -SAT에 대해 더 나은 범위를 나타냈다 ; 그러나 Hertli는 다른 논문 에서 독창성을 가정하지 않고 (약간 조정 된) PPSZ 알고리즘에 대해 동일한 범위를 얻을 수 있다는 것을 다른 논문 에서 보여주었습니다 . 따라서 고유성이 도움이 될 수 있으며 일부 알고리즘의 분석을 확실히 단순화 할 수 있지만 의 고유성 역할에 대한 우리의 이해k ≥ 5 k k k = 3 , 4 $k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$$k$-SAT는 여전히 성장하고 있습니다.

고유 -SAT가 일반 -SAT 보다 그리 쉽지 않다는 증거가 있습니다 . 스트롱 지수 시간 가설 (세스)에는 없다 주장 이되도록 - 변수 -sat 됨 풀수 마다 일정 시간 . SETH가 보유한 경우 고유 -SAT에 대해서도 동일한 진술이 Calabro, Impagliazzo, Kabanets 및 Paturi 의 논문 에 게재되었습니다. 또한, 일반적인 SAT가 지수 시간을 요구하는 경우 , 즉 일반적인 와 같은k δ < 1 n k O * ( 2 δ n ) k ≥ 3 k k k ≥ 3 , ϵ > 0 k O ∗ ( 2 ϵ n$k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$$k \geq 3, \epsilon > 0$$k$-SAT는 시간 에서 해결할 수 없으므로 Unique 3-SAT에 대해서도 동일해야합니다. 가장 일반적인 진술은 논문을 참조하십시오. $O^*(2^{\epsilon n})$

(참고 : 표기법은 입력 길이의 다항식 요소를 억제합니다.)$O^*$

A. Bjorklund와 T. Husfeldt가 최근에 해결 한 무 방향 그래프의 최단 2 정점 분리 경로 문제 (ICALP14). 그러나 결정적 솔루션은 고유 한 솔루션이 존재하는 경우입니다. 솔루션이 두 개 이상인 경우 문제가 RP에 속하는 것으로 나타났습니다 . 이 논문의 저자가 언급했듯이 일반적인 시나리오에서 문제가 P 에 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다 .

복잡도 이론 및 알고리즘 분석 이외에도 하나의 솔루션 만있을 수 있다고 가정하면 스도쿠 퍼즐에서 솔루션을 추론하는 데 사용되는 일부 표준 규칙의 기초가됩니다. 이러한 규칙에는 일반적으로 퍼즐의 일부가 퍼즐의 나머지 부분과 상호 작용하지 않는 둘 이상의 솔루션을 가질 수있는 방법을 찾는 것이 포함됩니다. 실제 솔루션에서는 발생할 수 없으므로이를 유발하는 패턴이 발견되면이를 해결해야합니다.이를 통해 솔버가 실제 솔루션의 모양에 대한 제약 조건을 추론 할 수 있습니다. 고유성에 따른 추론 규칙의 예는 http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp 를 참조 하십시오 .

$G$

uniqeness 가정은 Ham의 수의 패리티를 의미합니다. 경로는 그래프가 해밀턴인지를 결정하는 것과 같습니다.

$O(1.619^n)$$O^*(1.657^n)$$O(n^22^n)$