PARTITION의 또 다른 변형

특정 파티션 문제로 다음과 같은 파티션 문제가 줄었습니다.

입력 : 양의 정수 목록 감소하지 않는 순서). $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

질문 : 합니까는 벡터가 존재 $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ 그러한

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

두 번째 조건이 없으면 단지 PARTITION이므로 NP-hard입니다. 그러나 두 번째 조건은 많은 추가 정보를 제공하는 것으로 보입니다. 이 변형을 결정하는 효율적인 방법이 있는지 궁금합니다. 아니면 여전히 어려운가요?

cc.complexity-theory reference-request partition-problem subset-sum

— 토마스 칼리 노프 스키
소스

PARTITION에서이 문제로 축소되었습니다. 하자 $(a_1,\dots, a_n)$ 파티션의 인스턴스. 이라고 가정하십시오 $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ .

하자 는 "매우 많은", 예를 들어 수 . 인스턴스 고려 문제입니다. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

to PARTITION 솔루션이 있으면 는 우리의 문제에 대한 해결책입니다. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
문제의 인스턴스에 대한 해결책 이있는 경우 (PARTITION의 인스턴스를 줄인) . 따라서 즉, 은 PARTITION의 솔루션입니다. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— 유리
소스

고마워요 내 응용 프로그램에서는 입력 목록을 줄이지 않고 정렬해야하며 축소의 입력 은 중요 하지 않습니다. 주문 요구 사항을보다 명확하게하기 위해 질문을 수정하겠습니다.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@ 토마스 : 나는 그것을 알아 차리지 못했습니다. 이제 솔루션을 업데이트했습니다.

— Yury