클로를 찾기 위해 행렬 곱셈을 번 호출해야합니까?

발톱은 입니다. 사소한 알고리즘은 시간 안에 발톱을 감지합니다 . 에서 수행 할 수 있습니다 . 여기서 는 다음과 같이 빠른 행렬 곱셈의 지수입니다. 각 꼭지점 에 대해 로 유도 된 하위 그래프를 가져 와서 삼각형을 찾으십시오. 그것의 보완. $K_{1,3}$ $O(n^4)$ $O(n^{\omega+1})$ $\omega$ $N[v]$ $v$

내가 아는 한, 이러한 기본 알고리즘은 알려져 있습니다. Spinrad는 자신의 저서 "효율적인 그래프 표현"에 $o(n^{\omega+1})$ 시간 내에 클로 문제를 공개 된 문제로 발견했습니다 (8.3, 103 페이지). 하한의 경우, $O(n^c)$ -시간 알고리즘은 삼각형을 찾기 위한 $O(n^{\max{(c,2)}})$ -시간 알고리즘을 의미합니다. 따라서 $\Omega(n^\omega)$ 를 하한으로 간주 할 수 있습니다 .

의문:

이것에 어떤 진전이 있습니까? 아니면 불가능하다는 것을 보여주는 진전이 있습니까?
최고인 시간 알고리즘에 다른 자연적인 문제가 있습니까? $O(n^{\omega+1})$

말:

클로가없는 그래프를 인식하는 대신 클로가 감지되도록 명시 적으로 요청하고 있습니다. 알고리즘이 일반적으로 두 가지를 모두 해결하지만 예외는 거의 없습니다.
그것은 알고리즘과 이론적 컴퓨터 과학 핸드북에서 선형 시간으로 찾을 수 있다고 주장했지만 오타 일뿐입니다 ( "효율적인 그래프 표현"참조).

graph-theory graph-algorithms graph-classes

— 이신 카오
소스

당신은 사용할 수 있습니다 . 아론 등의 에서 삼각형을 찾는 방법 하는에 결국 각 노드에 대해 입니다 그래프가 너무 조밀하지 않은 경우 보다 낫습니다 .

O (| E |^{1.41})

$O(|E|^{1.41})$

O (| V | \cdot | E |^{1.41})

$O(|V|\cdot |E|^{1.41})$

| V |^{ω + 1}

$|V|^{\omega+1}$

— RB

@RB, 이것을 지적 해 주셔서 감사합니다. 기본 아이디어는 여전히 삼각형 감지 알고리즘을 번 실행하는 것입니다. 이는 피하고 싶습니다.

n

$n$

— Yixin Cao

삼각형 찾기와 관련이없는 알고리즘을 어떻게 찾을 수 있습니까? 알고리즘이 무엇이든 각 정점의 이웃을 확인해야하기 때문입니다. 나는 모든 정점이 보이도록 일정한 인자 차이를 제외하고는 속성이 매우 로컬 속성이라는 것을 의미합니다. (또는이 지역을 피하는 자연스러운 알고리즘을 상상할 수 없습니다). 모호한 아이디어가 있습니까?

— Saeed

f (n) 시간에 발톱을 찾을 수 있다면 f (n + 1) 시간에 삼각형을 찾을 수도 있습니다 (그래프를 보완하고 모든 사람에게 연결된 정점을 하나 더 추가하십시오) ) 따라서 우리는

보다 나은 것을 찾기를 희망해서는 안됩니다 .

n^{ω}

$n^\omega$

— domotorp

@domotorp, 부분이 분명한 것 같고 다른 방법은 명확하지 않습니다. 왜 선형 검색이 필요한지 의미합니다. Yixin도 지적했듯이 삼각형 찾기 알고리즘을 사용하지 않고

문제를 해결하는 또 다른 알고리즘이있을 수 있습니다.이 알고리즘을 찾기 가 어렵고 아마도 알고리즘은 선형 검색을 통해 삼각형 찾기를 서브 루틴으로 사용하거나 변환 할 수 있습니다.

o (n^{ω + 1})

$o(n^{\omega +1})$

— Saeed

답변:

직사각형 행렬 곱셈을 사용하여 고밀도 그래프의 경우 보다 약간 더 나을 수 있다고 생각합니다 . Eisenbrand와 Grandoni ( "고정 매개 변수 클릭과 지배적 인 설정의 복잡성", 이론적 컴퓨터 과학 볼륨 326 (2004) 57-67))도 4 자간 검출을 위해 유사한 아이디어를 사용했습니다. $O(n^{1+\omega})$

하자 우리는 클라우의 존재를 검출 할 수있는 그래프. 를 의 (정렬 된) 정점 세트로 하자 . 다음 부울 행렬 고려 사이즈를 각 행의 일부에 의해 인덱싱 , 각 열의 일부에 의해 색인 하고, 해당 항목이 하나 인 경우만 $G=(V,E)$ $A$ $V$ $M$ $|V|\times |A|$ $u\in V$ $(v,w)\in A$ , 및 . 의 부울 행렬 곱과 그 조옮김 고려하십시오. 그래프 존재 경우만 클로를 갖는다 의 유입되도록 에 의해 인덱스 열의 의해 인덱스 컬럼 하나이다. $\{u,v\}\in E$ $\{v,w\}\in E$ $\{u,w\}\notin E$ $M$ $M^T$ $G$ $\{u,v\}\notin E$ $MM^T$ $u$ $v$

이 알고리즘의 복잡성은 본질적으로 행렬 의 불리언 곱을 행렬 로 계산하는 복잡도이며 , 여기서 은 그래프의 꼭짓점 수를 나타냅니다. 이는 이러한 매트릭스 제품이 시간에 계산 될 수 있다고 알려져있다 보다 이상이며, 알려진 최선 상부에 결합 . 물론, 경우 (추측 됨) 다음 두 방법은 동일한 복잡도 수득 $n\times n^2$ $n^2\times n$ $n$ $O(n^{3.3})$ $O(n^{1+\omega})$ $\omega$ $\omega=2$ . $O(n^3)$

— 프랑소와 르 갈
소스

큰! 이것은 첫 번째 질문에 정확히 원하는 것입니다. 더 큰 질문이지만 한 번의 행렬 곱셈 호출. 두 번째 질문에 대한 추가 의견이나 답변을 기다렸다가 답변으로 삼을 것입니다.

— Yixin Cao

행렬 곱셈 을 피하는 방법을 모르겠지만 시간이 적은 수의 시간과 효과적으로 같은 방식으로 분석 할 수 있습니다. 이 트릭은 $n$

Kloks, 톤; Kratsch, Dieter; Müller, Haiko (2000), "작은 유도 하위 그래프를 효율적으로 찾아서 계산하기", 정보 처리 서신 74 (3-4) : 115–121, doi : 10.1016 / S0020-0190 (00) 00047-8, MR 1761552.

첫 번째 관찰은 행렬 곱셈을 할 때 행렬은 실제로 이 아니라 여기서 는 각 정점의 정도입니다. 왜냐하면 찾고있는 것은 각 정점의 이웃. $n\times n$ $d\times d$ $d$

둘째, 무 클로 그래프에서 모든 꼭짓점에는 이웃. 그렇지 않으면, 인접 세트는 보체에 삼각형이 생기지 않도록 가장자리가 너무 적을 것입니다. 따라서 행렬 곱셈을 할 때 크기 행렬에서만 수행하면됩니다. $O(\sqrt m)$ 보다는. $O(\sqrt m)$ $n$

또한 각 모서리는 끝점 인 두 정점에 대한 행렬 곱셈 문제의 크기에 기여할 수 있습니다. 때 최악의 경우는 발생하는 이 매트릭스 곱셈 문제의 총 크기가로 확산된다 $2m$ 크기의 하위 문제 $O(\sqrt m)$ 의 총 결합 시간을주는 각각, 희소 오버 그래프의 개선R B. 언급 바운드 $O(\sqrt m)$ $O(m^{(1+\omega)/2})$ $O(nm^{\omega/2})$

— 데이비드 엡스타인
소스

와우, 그것은 영리한 생각입니다. 하위 선형 검색 (실제로 이것을 반증)을 수행 할 수 있는지 여부와 문제의 본질적 속성에 대해 생각조차하지 않았다고 생각했습니다.

— Saeed

데이빗 감사합니다. 두 번째 질문이 아직 눈에 띄지 않는 것 같습니다.

— Yixin Cao