P의 회로 복잡도에 대한 Kolmogorov의 추측에 대한 논쟁

(확인되지 않은) 역사적 설명에 따르면, Kolmogorov는 모든 언어에 $\mathsf{P}$ 선형 회로 복잡성이 있다고 생각했습니다 . ( 는 선형 크기 회로를 가짐에 대한 Kolmogorov의 추측에 $P$ 대한 이전 질문을 참조하십시오 .) 의미 $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$ 합니다.

그러나 Kolmogorov의 추측은 실패 할 것으로 보인다. 예를 들어 Ryan Williams는 최근의 논문 에서 다음과 같이 썼다 . "사실이라면 추측이 놀랍습니다. 시간이 필요한 언어 의 경우 그러한 문제가 복잡해 보이지 않을 것입니다 각 입력 길이마다 다른 회로를 설계 할 수 있기 때문에 크기로 마술처럼 줄어들 것 입니다. " $\mathsf{P}$ $n^{100^{100}}$ $O(n)$

반면 Andrey Kolmogorov (1903-1987)는 20 세기의 주요 수학자 중 한 명으로 널리 알려져 있습니다. 그가 완전히 터무니없는 추측을 제안했을 것이라고 상상하기는 어렵다. 따라서 그것을 더 잘 이해하기 위해 실제로 그의 놀라운 추측을 뒷받침 할 수있는 몇 가지 주장을 찾으려고했습니다. 내가 생각할 수있는 것은 다음과 같습니다.

이라고 가정하십시오 . 그런 다음 언어를 선택하여 이 균일하고 비 균일 한 모델 모두에서 초 선형 복잡성을 갖도록 할 수 있습니다. 다음 두 가지 가능성이 있습니다. $\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ $L\in \mathsf{P}$ $L$

을 허용 하는 알려진 명시 적 알고리즘 (Turing machine)이 있습니다. 이로부터 우리 는 초 선형 회로 복잡성을 가져야 하는 명시적인 함수 패밀리를 구성 할 수 있습니다 . 그러나 60 년이 넘게 회로에 대한 강렬한 연구를 통해 아무도 그러한 예를 찾을 수 없었기 때문에 이것은 가능성이 낮습니다. $L$
대한 알려진 명시 적 알고리즘 은 없습니다 . 예를 들어, 그것의 존재는 선택의 공리와 같은 비 건설적인 수단을 통해 입증됩니다. 또는 명시 적 알고리즘이 존재하더라도 아무도 그것을 찾을 수 없었습니다. 그러나 의 역할을 수행 할 수있는 언어가 무한히 많다는 점을 감안할 때,이 언어가 모두 비우호적 인 방식으로 작동 하지는 않을 것입니다. $L$ $L$

그러나 두 옵션을 모두 무시할 가능성이 없다면, 남은 유일한 가능성은 그러한 $L$ 이 존재하지 않는 것입니다. 이는 $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ 하며 이는 정확히 Kolmogorov의 추측입니다.

질문 : Kolmogorov의 추측에 대한 추가 주장이 생각 나십니까?

cc.complexity-theory circuit-complexity ho.history-overview

— 안드라스 파라고
소스

궁금합니다 : 콜 모고 로프의 추측을 반박 할 후보 가 있습니까? 물론, 초 선형 복잡성을 갖는 문제를 고려할 수 있습니다. 아마도 그들 중 일부는 선형 크기 회로를 가지고 있지 않을 가능성이 더 큽니까?

— Bruno

아무리 작은 단서도 가지고 있지 않습니다. (할리우드에 대한 골드만 인용 : "아무도 아무것도 모른다") 그러나 압축 이론 및 압축성에 대한 대략적인 아이디어 / 각도를 살펴볼 가치가 있습니다. 이것이 기본적으로 윌리엄스가 암시하고 많은 복잡한 계급 분리의 핵심에있을 수있는 것입니다. 아이디어는 데이터를 인코딩하는 기본 방법 / 알고리즘이 있으며 일부 패턴은 (임의의) 인코딩을 사용하여 본질적으로 압축하기가 더 어렵다는 것 입니다. 그러나이 분야에서도 결과가 거의없는 것 같습니다.

— vzn

그리고 btw, 포트로에 의해 탐구 된 콜로 모고 로프 복잡성의 계산 복잡성에 대한 많은 연관성은, 왜 그렇게 많은 콜 모고 로프 복잡성 관련 질문이 결정될 수 없기 때문에 질문을 해결하기 어려운지에 대한 설명적인 연관성을 가질 수있다.

— vzn

@Bruno : - 완전한 문제는 Linear Programming 또는 Circuit Value Problem과 같은 좋은 후보가 될 것이라고 생각합니다 . 만약 이면, 이러한 문제는 폴리 사이즈와 폴리 로그 깊이에서 불균일하게 해결 될 수 없기 때문에 최소한 그러한 문제가 발생해서는 안된다고 추측하는 것이 합리적입니다. 선형 크기 (및 제한되지 않은 깊이)로 해결할 수 있습니다. 결정 인은 또 다른 합리적인 후보 일 수 있습니다. 그러나 이것들은 단지 제안 일뿐 입니다. 슈퍼 선형 회로 크기를 가지고 있다고 생각 할만한 이유 가 없습니다 .

P

$\mathsf{P}$

P ⊈ N C

$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— Joshua Grochow

답변:

당신이 인용 한 나의 논문의 각주는 적어도 우리가 콜 모고 로프의 직감, 힐버트의 13 번째 문제에 대한 긍정적 인 해결책이라고 생각한 휴리스틱 "인수"를 언급하고 있습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

특히, Kolmogorov와 Arnold는 변수 에 대한 연속 함수 가 "간단한"함수 의 구성으로 표현 될 수 있음 을 증명했습니다 . 두 개의 변수 추가와 하나의 변수 에 대한 연속 함수 . 따라서 1 변수 연속 함수와 2 변수 덧셈의 "기준"을 넘어, 변수 에 대한 모든 연속 함수 는 "회로 복잡도" 갖습니다 . $n$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

Kolmogorov는 " 변수 에서 연속 "이 " 변수 에서 부울이 되고 폴리 -시간 계산 가능"이되고 위에서 주어진 "기본"이 2 변수 부울 함수 가되는 불연속 아날로그가 있다고 생각 합니다. $n$ $n$ $(n)$

— 라이언 윌리엄스
소스

Kolmogorov가 믿었던 이산 아날로그가 실제로 존재한다면 그것은 매우 흥미로울 것입니다. 아마도 연구자들은 의 증거로 이어질 수 있기 때문에 그것을 찾으려고 노력했다 . 그들이 직면 한 주요 장애물은 무엇입니까?

P \neq N P

$P\neq NP$

— Andras Farago

장애물? 나는 아무도 길을 찾지 못했다고 생각한다 :) 대부분의 사람들은

가

크기의 회로를 가지고 있지 않다고 생각하기 때문에 모든 고정

마다 도로를 찾은 사람은 거의 없을 것이다.

P

$P$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

— Ryan Williams

이전 질문에 대한 Stasys의 답변은 잠재적으로 유리한 직감을 제공합니다. /cstheory//a/22048/8243 . 내가 이해 한대로 여기에 다시 언급하려고 노력할 것입니다. 주요 직관은 회로를 알고리즘이 아니라 세트 의 인코딩 (허용 세트)으로 보는 것입니다. 우리는이 (즉, 시간 - 번역 시간을 실행 알고리즘에 의해 크기를 인코딩에 상한선 얻을 수 크기 -에 TM 회로)하지만, 반대의 관계가 존재해야하는지 분명하지 않다. 언어가 인 경우 멤버쉽이 매우 간결하게 인코딩 될 수있는 "로컬"일 수 있습니다. $t$ $t$ $\mathsf{P}$

즉, 멤버쉽 은 알고리즘의 실행 시간에 관한 진술이지만 선형 회로는 (어쩌면) 고정 길이 단어 세트의 인코딩 크기에 관한 진술입니다. 둘 다 언어의 단순성에 대한 진술이지만 어쩌면 다른 세계에 살고 있습니다. $\mathsf{P}$

Stasys가 언급 한 또 다른 직감은 언어의 "인디케이터 문자열"에서 비롯되는데 , 번째 사전 편찬 문자열이 언어에 있으면 비트 가 이고 그렇지 않으면 무한 문자열로 형식화 합니다. 언어에 대한 (polytime) TM은 문자열에 대한 (빠른) 오라클입니다. --- 이진수로 가 주어지면 번째 비트가 생성 됩니다. 길이 입력에 대한 (선형 크기) 회로 는 문자열 의 길이 접두사에 대한 (간결한) 오라클입니다 . 추측은 " '빠른'오라클을 가진 무한 문자열은 '간결한'접두사-오라클을 갖습니다." $j$ $1$ $j$ $0$ $j$ $j$ $n$ $2^n$

위의 어느 것도 왜 와"linear "가 명령문에 적합한 각각의 매개 변수가 될 수 있는지 설명하지 않습니다. 그러나 그것들은 하나의 자연스러운 직관-회로가 알고리즘처럼 작동하고 더 복잡한 알고리즘이 유사하게 복잡한 회로-오해의 소지가 있습니다. $``\mathsf{P}"$

— usul
소스