임의의 DFA로 단어 분리

DFA에 대한 흥미로운 공개 문제 중 하나에 나와 있습니다. DFA에 대해 공개 된 문제가 있습니까? 길이가 두 개의 문자열을 구분하는 데 필요한 DFA의 크기입니다 $n$ . 임의의 DFA가 두 개의 주어진 (비 랜덤) 문자열을 분리하는 기능에 대한 결과가 있는지 궁금합니다.

충분히 많은 상태의 무작위 DFA는 문자열을 확률이 높은 것으로 구분합니다. 특히 $u,v \in \Sigma^n$ , $O(n)$ 상태 의 임의의 DFA 는 $u$ 와 $v$ 다른 첫 번째 위치에 도달하면 동일한 상태를 다시 방문 할 가능성이 없으므로 $u$ 와 분리 $v$ 합니다.

더 잘할 수 있을까요? 이상적으로는, 작은 무엇 성이있는 임의의 DFA와 의 길이 상태 분리형 문자열 양의 확률 (혹은 확률 )? 간단한 검색은 무작위 DFA의 속성에 대한 많은 결과를 나타내지 않았습니다. 내가 찾을 수있는 것은 http://arxiv.org/abs/1311.6830 이었습니다 . $f(n)$ $f(n)$ $n$ $\ge 1/2$

dfa random-graphs

— 제프리 어빙
소스

긍정적 인 확률은 개방 된 문제를 다시 언급 한 점에서 특히 유용한 조건이 아닙니다. 높은 확률은 여전히 흥미로울 수 있습니다.

— Geoffrey Irving

"분리 된"은 무엇을 의미합니까? 하나를 받아들이고 다른 하나를 거부합니까? 그렇다면

상태가 충분 하다는 것이 명백 합니까?

O (n)

$O(n)$

— usul

그렇습니다. 분리 란 정확히 하나를 받아들입니다. 그리고 당신이 옳습니다 : 가장 사소한 분리 주장에는 실제로

상태 가 필요합니다

위에 쓴 것은 잘못되었습니다).

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffrey Irving

단어의 차이에 따라 경계가 달라질 것으로 기대하지 않습니까? 한 글자로 다른 단어는 무작위로 구별하기가 더 어려워 보입니다. 한 번의 전환에서 구별해야하기 때문에 매우 다른 단어가 더 쉬울 것입니다. [일반적으로 가장 긴 접두사를 잊어 버릴 수 있습니다 (그로부터 임의의 상태에 도달 함). 그런 다음, 다른 글자들이 당신을 같은 주 또는 다른 주들로 보냅니다; 상태가 다른 경우 재 동기화 및 동기화 상태를 유지해야합니다 (단어에 따라 다시 시작) ...]

— a3nm

그렇습니다. 열린 문제와 마찬가지로, 나는 차별하기 가장 어려운 단어에 관심이 있습니다. 소수의 장소에서만 다른 단어는

상태로 이미 분리 될 수 있으므로 어려운 경우 는 아닙니다 .

O (\log n)

$O(\log n)$

— Geoffrey Irving

[편집 :이 답변이 효과가 없습니다. 의견을 참조하십시오.]

이것은 단지 비공식적 인 아이디어이며 도움이되는지 모르겠지만 의견으로 제시하기에는 너무 깁니다. 또한 임의의 DFA에 익숙하지 않으므로 확률에 대해 추론해야 할 방법에 대한 잘못된 직관이있을 수 있지만 이것이 완전히 가치가없는 것은 아닙니다.

나는 당신의 한계가 와 차이 에 달려 있다고 가정합니다 . 그렇지 않은 경우, 그것은 최악의 경우 자신의 첫 번째 문자 만 다른 문자열이라는 것을 나에게 분명한 것 같다 (세트에서 서로 다른 문자열 위치는 세트에서 서로 다른 문자열보다 떨어져 말했다되는 더 많은 기회가 위치를 , 가능한 한 빨리 차이를두면 재 동기화 할 수 있습니다). $u$ $v$ $X$ $Y \subset X$

또한 단어가 구별 될 가능성, 즉 단어가 다른 상태에 도달 할 가능성을 살펴 보겠습니다. 그런 다음 임의의 DFA가 최종 상태를 할당하는 방식에 따라 수락 또는 거부되도록 조정해야한다고 생각합니다. 각 상태의 확률이 최종 확률의 1/2 인 경우, 스트링이 동일한 상태에서 끝나는 경우에는 구별되지 않으며, 다른 상태에서 끝나는 경우에는 1/2의 확률이 있습니다.

이제 와 에서 얻은 단어 를 다음과 같이 고려할 것입니다 . 이면 이고 , 그렇지 않으면 입니다. 나는 가 와 에 관해 고려해야 할 유일한 흥미로운 것임이 분명하다고 생각합니다 . $w$ $u$ $v$ $w_i = 1$ $u_i = v_i$ $w_i = 0$ $w$ $u$ $v$

이제, 와 의 길이 의 접두사를 읽은 후 가 같은 상태에있을 확률을 정의 하고, 가 아닌 확률을 정의하십시오. $p(i)$ $i$ $u$ $v$ $q(i) = 1 - p(i)$

이 때 이 있다고 생각 합니다. 직관적으로, 우리가 읽은 후 같은 상태에있다 문자를 하나 우리가 읽은 후 같은 상태에있을 때 우리가 두 개의 서로 다른 (임의) 상태에있을 때, 또는 우리는 무작위 상태로이 전환을 그려, 그들은 일어난 같은 것입니다. 마찬가지로 $p(i+1) = p(i) + q(i)/n$ $w_{i+1}$ $1$ $i+1$ $i$ 때 것입니다 : 두 개의 무작위 상태, 당신은에서 시작 상관없이 받고있다. $p(i+1) = 1/n$ $w_{i+1}$ $0$

이것으로부터 와 읽은 후 같은 상태에있을 확률을 계산할 수 있다고 생각합니다 . $u$ $v$

— a3nm
소스

불행하게도,

가

와

의 유일한 흥미로운 속성 이라는 것은 분명하지 않습니다. 이를 확인하는 가장 쉬운 방법은 사소한

를

과 구별 할 확률이 0이 아니라는 것입니다 . 실제로

관계없이 두 개의 상태만으로 충분합니다 . 그러나, arxiv.org/pdf/1103.4513.pdf 에서 논의 된 바와 같이 , 길이

st no

상태 의 단어

는 DFA가 그들을 구별 할 수있다. 이것은

대한 공식과 모순됩니다

w

$w$

u

$u$

v

$v$

w

$w$

0^{n}

$0^n$

n

$n$

u, v

$u,v$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

p (i)

$p(i)$ .

— Geoffrey Irving

명확히하기 위해 DFA 전환이 문자열 인덱스의 임의 함수 인 경우 수식이 정확합니다. 그것들은 지수와 무관하기 때문에 확률은 다소 복잡한 방식으로 상관됩니다.

— Geoffrey Irving

나는 당신의 반례를 얻지 못할 것을 두려워합니다.

과

을 구별하는 두 가지 상태를 가진

prba 가 있습니다 . 그리고

상태 와 구별 할 수없는 길이

단어가있을 수 있습니다 . 하지만 어떻게 내 주장을 반박 않는

유일하게 중요한 것은, 또는 내 공식

> 0

$>0$

0^{n}

$0^n$

w \neq 0^{n}

$w \neq 0^n$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

w

$w$

p (i)

$p(i)$ ? 상관 관계에 관해서는, 당신이 언급 한 종류의 잡기가있을 수 있지만, 왜 그것이 정확히 실패하는지 이해하지 못합니다. 동일한 상태를 두 번 통과하면 상관 관계가 있지만 평균적으로 특정 방향으로 영향을 줄 것이라고 생각할만한 이유가 있습니까?

— a3nm

경우

및

양의 확률로 구별된다. 그러나 충분히 큰

및 적은 수의 상태에 대해 일부

및

대해

임을 알 수 있습니다. 귀하의 공식은

이면

p (n) < 1

$p(n) < 1$

u

$u$

v

$v$

n

$n$

p (n) = 1

$p(n) = 1$

u

$u$

v

$v$

p (i) < 1

$p(i) < 1$

이면 수식에서 특정

와

를 구별 할 수 없다는사실을 포착하지 못합니다.

p (i + 1) = p (i) + (1 - p (i)) / n = p (i) (1 - 1 / n) + 1 / n < 1

$p(i+1) = p(i) + (1-p(i))/n = p(i)(1-1/n)+1/n < 1$

u

$u$

v

$v$

— Geoffrey Irving

아 ... 맞아요 작은 DFA가 두 단어 를 구분할 수 없는 경우 임의의 DFA가 두 단어 를 구분할 수 없습니다. 실제로 내 접근 방식에 문제가 있습니다. 이러한 상관 관계 때문에

는 결국 0으로 떨어질 것입니다. 답변이 잘못되어 죄송합니다.

q (i)

$q(i)$

— a3nm