계산 그래프 이형성의 복잡성

동형 그래프에서 그래프에 매핑 인 로부터 로 이되도록하는 경우 및 으로 인접한 후 및 는 인접 해있다 . 자기 사상 그래프의 로부터 동형 인 자체; 그것에는 고정 소수점 부담 없이 존재하는 경우 되도록 이되고 비 단순은 그 신원이 아닌 경우.$G = (V, E)$$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$$x$$y$$E$$f(x)$$f(y)$$E'$$G$$G$$x$$f(x) = x$

나는 최근 에 poset (및 그래프) automorphisms , 즉 대화 형이 또한 내인성 인 이형 내인성에 관한 질문 을했습니다. 나는 automorphisms의 수를 세는 (그리고 존재를 결정하는 것에 관한) 관련된 연구를 찾았지만 검색하면 endomorphism과 관련된 결과를 찾을 수 없었습니다.

따라서 내 질문 : 그래프 주어진 복잡성 무엇 의 비 사소한 자기 사상의 존재를 결정하는, , 또는 자기 사상의 수를 세는를? 고정 소수점없는 엔도 모르 피즘과 같은 질문입니다.$G$$G$

나는 이 답변에 주어진 주장 이 내인성으로 확장되고 방향성 이분 그래프 또는 포즈의 경우가 일반 그래프의 문제 (일반 그래프의 문제는이 경우로 줄어 듭니다)보다 쉽지 않다는 것을 정당화하지만 그 복잡성은 그렇지 않습니다 결정하기 쉬운 것 같습니다. 그것은 다른 하나의 그래프에서 이체 동형의 존재를 결정하는 것으로 알려져있다 NP-하드 (이 그래프 색상을 일반화로이 분명하다)하지만에 그래프에서 homomorphisms로 검색을 제한하는 것 같아 자체 쉽게 문제를 만들 수도 있습니다, 따라서이 문제의 복잡성을 결정하는 데 도움이되지 않습니다.

대해 엔도 모피 즘 또는 고정 소수없는 엔도 피 수 계산이 완료되었습니다 . 연결된 그래프 주어진 경우 와 삼각형의 결합되지 않은 결합 그래프 를 고려하십시오 . 그런 다음 따라서 은 두 가지 엔도 모피 즘을 사용하여 계산할 수 있습니다 카운트 (및 일반적인 결과로도 하나만으로 충분) 및 일부 폴리 타임 후 처리. 삼각형의 수는 3 차 (또는 행렬 곱셈) 시간으로 계산할 수 있습니다. 3 색과 삼각형이 의 고정 소수점이없는 이형 체이기 때문에 고정 소수점 자유 이성체에 대해 동일한 방정식이 적용됩니다.$\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$$G$$G'$$G$$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$$\# 3COL$$G'$.

당신이 원하는 경우 연결하기 위해, 당신은 다음을 수행 할 수 있습니다. 먼저 정점-컬러 그래프 이형 체 (컬러 꼭짓점은 다른 색상 꼭짓점에만 매핑 될 수있는 )를 계산하는 것은 다음과 같이 그래프 이형 체를 계산하는 것과 같습니다. 색상을 . 각 정점 들어 색상의 새로운 이산의 추가 홀수 사이클 적어도 크기 ( ), 그리고 한쪽 정점 에 . 모든 이형성은 해당$G'$$c$$c$$\{1,...,C\}$$v$$c$$C_v$$n + 2c$$n=|V(G)|$$C_v$$v$$G$$2^n$새로운 그래프의 내인성 (각주기마다, 당신은 그것을 매핑하는 방법에 대한 두 가지 선택이 있습니다). 의 어떤 정점 참고 어떤의 정점에 매핑 할 수 없습니다 주기가 너무 크므로, (당신이 다른 내부의 한 사이클에 맞게 할 수있을 것입니다있는 당신없는 이상한 사이클 수).$G$$C_v$

이제 연결된 버전을 만들기 위해 컬러 버전으로 시작한 다음 위의 변환을 적용합니다. 에 불연속 삼각형 를 추가하여 이전과 같이 시작하십시오 . 이제 모든 정점에 연결된 단일 새 정점 을 추가하십시오 . 색상 빨간색과 다른 모든 정점 블루.$G'$$G$$\Delta$$v_0$$G \cup \Delta$$v_0$