Deolalikar의 논문에 대한 Gurvits의 텐서 순위 해석 설명

[참고 : 나는이 질문이 Deolalikar의 논문의 정확성 또는 부정확성에 좌우되지 않는다고 믿는다.]

스콧 애런 슨의 블로그에 슈 테틀 최적화 , NP 대 P에 Deolalikar의 최근 시도에 대한 토론에, 레오 니드 Gurvits는 다음 만든 코멘트를 :

나는 접근법을 이해 / 개조하려고 노력했으며, 여기에 나의, 아마도 아주 미니멀 한 시도가 있습니다 : 논문의 불연속 확률 분포는 텐서 또는 매우 특별한 다중 선형 다항식으로 볼 수 있습니다. "P = NP"가정은 어떻게 든 텐서 순위에서 (다항식?) 상한을 제공합니다. 그리고 마지막으로 알려진 확률 적 결과를 사용하여 같은 순위에서 불일치 (지수?) 하한을 얻습니다. 내가 옳다면,이 접근법은 아주 영리하고 좋은 의미에서 기본 대수-기하학적 접근법을 추진하는 방법입니다.

Deolalikar의 증거에서 의심되거나 알려진 결함에도 불구하고, 나는 궁금합니다.

Deolalikar의 논문에서 논의 된 분포는 어떤 방식으로 텐서로 간주 될 수 있으며 (정확성에 관계없이) 그의 결과에 대한 진술은 텐서 순위에 대한 진술로 어떻게 해석됩니까?

[저는 전혀 관련이 없다고 생각하고 "아하 순간"을 가졌기 때문에 적어도 부분적으로 답을 찾았다 고 생각합니다. 이것이 Gurvits가 생각한 것인지 확실하지 않지만, 이것은 나에게 의미가 있습니다.]

N 진 변수에 분포 텐서 제품의 요소로 볼 수있다 R 2 ⊗ ⋯ ⊗ R 2 (N 요인) (실제로는 관련 투영 공간, 그러나 우리는 그에게 얻을 것이다). R 2 각 사본의 기본 요소 에 | 0 ⟩ 및 | 1 $x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$그런 다음이 텐서 제품 공간의 기초는 모든 n 비트 문자열 세트에 의해 제공됩니다. 계수가 1 인이 텐서 곱의 요소가 있다면 주어진 n 비트 스트링의 계수를 해당 스트링이 발생할 확률로 해석 할 수 있습니다. 이제 확률 분포 (계수 1의 합) 만 원하므로 텐서 곱의 벡터를 정규화하여 해당 속성을 가질 수 있습니다. 정규화 된 텐서만을 고려함으로써, 우리는 실제로이 텐서 제품의 투영 공간의 요소만을 고려하고 있습니다.

이제 우리는 텐서 순위를 Deolalikar의 polylog-parametrizability 개념에 연결해야합니다. 따르면 페이지 테리 타오함으로써 polylog-parametrizability의 Deolalikar의 개념은 분배 있다는 것을 보인다 그대로 "전위에 반영"수 μ ( X 1 , . . . , X의 N ) = Π N 난 = 1 P의 난을 ( x i ; x p a ( i ) ) 여기서 pa (i)는 "i의 부모"로 정의 된 polylog (n) 변수 세트입니다.$\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$ 는이러한 모 변수에만 의존하는 x i 의 분포입니다. 또한 부모의 지시 된 그래프는 비 주기적이어야합니다.$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

매우 간단한 종류의 배포부터 시작하겠습니다. 가정 만족 μ ( X 1 , . . . , X N ) = Π N 난 = 1 P I를 ( X I ) 일부의 분포에 대해 P I ( P 난 에만 의존 X I ). 그 다음은 해당 텐서가 순위 1 텐서 것을 희망 분명하다 ( P 1 ( 0 ) | 0 ⟩ $\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$ .$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

약간 더 복잡한 분포 의 경우 모든 i에 대해 (서로의 부정 임) 인 문자열에 대한 균일 한 분포를 고려한다고 가정 합니다. Deolalikar의 언어에 대한 Tao의 해석에서 이것은 O ( 1 )- 모수화 가능한 분포입니다. 이어서 텐서이 대응 ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) ⊗ ⋯ $x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$ (필요가 정규화)이다. 이것을 완전히 쓰면, 2 n / 2 항이포함되므로 R 2 보다최대 2 n / 2 텐서 순위를 갖습니다. 그러나 R 2 ⊗ R 2 이상에서는 텐서 순위가 ​​1입니다! 나는 인수 분해에 의해 설명 될 수 있다는 사실 후자의 사실에 해당한다 생각 O ( N ) 번호 -$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$O(n)$ 인접 비트의 각 쌍에 대해, O ( n ) 인접 쌍각각에 대해. 보다 상당히 작은 2 N 부울 입방체상의 임의의 분포 (μ)에 대한 이론적으로 필요한 실수.$O(1)$$O(n)$$2^n$

여전히 두 가지 문제를 공식화하는 데 문제가 있으며 이에 대한 추가 답변을 부탁드립니다.

• 후자의 대응을 정확하게하기
• polylog-parametrizable distribution에 해당하는 텐서에 대한 공식을 작성하고 순위에 상한을 얻는다.