마이너스 웨이트 엣지로 최대 컷

$G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

\arg max_{S \subset V} \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w (e) \geq 0

$w(e) \geq 0$

e \in E

$e \in E$

꼭짓점 의 무작위 하위 집합을 선택합니다 . $S$
정점에서 순서를 정하고, 정점 를 또는 에 탐욕스럽게 배치 하여 가장자리를 지금까지 최대화합니다. $v$ $S$ $\bar{S}$
로컬 개선 : $S$ 에 로 이동 $\bar{S}$ 하여 컷을 늘리거나 그 반대로 할 수있는 정점이있는 경우 이동합니다.

이러한 모든 알고리즘의 표준 분석에 따르면 결과 컷의 크기는 적어도 만큼 크며 $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ 이는 의 상한입니다. 가 음이 아닌 $1/2$ 경우 최대 컷의 무게 -일부 모서리에 음의 무게가 허용되는 경우에는 그렇지 않습니다! $w$

예를 들어 알고리즘 1 (정점의 임의의 하위 집합 선택)은 음의 가중치를 갖는 그래프에서 명확하게 실패 할 수 있습니다.

내 질문은 :

음의 간선 가중치를 가질 수있는 그래프에서 최대 컷 문제에 대한 O (1) 근사값을 얻는 간단한 조합 알고리즘이 있습니까?

최대 컷 촬영 값의 가능한 접착 문제를 방지하기 위해 , 그 수 , 및 / 또는 알고리즘을 만족할뿐만 아니라 작은 첨가제 오류가 발생할 것을 곱셈 계수 근사치. $0$ $\sum_{e \in E}w(e) > 0$

— 아론 로스
소스

여기서 "간단한 조합"이라는 조건이 필수입니까?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

나는 긍정적 인 무게 경우에 대한 2 근사와 같은 간단한 조합 알고리즘에 가장 관심이 있습니다. 나는 O (1) 근사에 대해 묻고 있으므로 어떤 알고리즘이 이것을 달성 할 수 있다면 간단한 알고리즘으로 가능할 것으로 기대합니다. 그러나 네거티브 엣지 가중치가있는 그래프의 SDP 알고리즘에 대한 성능 보장이 무엇인지, 또는 경우 상수 팩터 근사 알고리즘이 존재하지 않는다는 증거에 관심이 있습니다 .

P \neq N P

$P \ne NP$

— Aaron Roth

답변:

여기 논쟁에 대한 첫 번째 시도가있었습니다. 잘못되었지만 "EDIT :"다음에 수정했습니다.

네거티브 엣지 웨이트로 최대 컷 문제를 효율적으로 거의 해결할 수 있다면, 포지티브 엣지 웨이트로 최대 컷 문제를 해결하는 데 사용할 수 없습니까? 최적의 해가 인 해결하고자하는 최대 컷 문제로 시작하십시오 . 이제 와 사이에 큰 음의 가중치 가장자리 (weight )를 넣으십시오 . 새로운 문제의 최적 솔루션은 이므로 가설 근사 알고리즘은 최대 값이 최대 최적 컷 보다 더 큰 최대 컷을 가진 솔루션을 제공 합니다. 원래 그래프에서 최대 컷은 여전히 최적보다 최대 나빠졌습니다. 가까운 것을 선택 $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ 이는 P NP 인 경우 최대 컷을 팩터 보다 더 잘 근사화 할 수 없다는 근사치 결과를 위반합니다 . $\neq$ $16/17$

편집하다:

와 가 원래 그래프 인 경우에도 와 가 컷의 반대쪽에 있다고 보장 할 수 없기 때문에 위의 알고리즘은 작동하지 않습니다 . 그래도 다음과 같이 해결할 수 있습니다. $u$ $v$

모든 엣지 가중치의 합이 양수인 한 OPT의 계수 2 내에서 컷을 제공하는 근사 알고리즘이 있다고 가정합시다.

위와 같이 모서리에 모든 음이 아닌 가중치 가있는 그래프 로 시작하십시오 . 우리는 수정 된 그래프 찾을 수 있습니다 우리의 최대 컷에 근접 할 수 있다면 그런 부정적인 무게와 함께 2 배 내에서, 우리의 최대 컷에 근접 할 수 아주 잘. $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

두 개의 정점 와 선택 하고 최대 컷의 반대편에 있기를 바랍니다. ( 한 번의 시도가 작동하도록 가능한 모든 에 대해이 작업을 반복 할 수 있습니다 .) 이제 에 대해 모든 모서리 및 에 큰 음의 가중치 를 입력 하고 a 큰 양의 가중치 on edge . 최적 절단의 중량이 라고 가정하십시오 . $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

정점 와 가 절단의 같은면에있는 값 가 인 절단은 이제 값을 여기서 은 절단의 다른면에있는 정점의 수입니다. 원래 값이 반대쪽에 를 사용한 컷의 값은 입니다. 우리의 선택에 따라서, 큰만큼, 우리는 모든 상처 강제로 와 때문에 양의 값을 가진 임의의 절단이 있다면 음의 값을 가지고 동일한 측을,의 다음 최적 절단 것이다 및 $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ 반대쪽에. 우리는 반대쪽에 와 가있는 컷에 고정 무게 a- 를 추가하고 있습니다. $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

이라고하자 . 되도록 선택하십시오 (나중에 이것을 정당화 할 것입니다). 중량으로 잘라 에서 갖는 및 양측에 현재 체중과 절단하게 . 이는 의 최적 절단 중량이 임을 의미합니다 . 우리의 새로운 알고리즘은 무게가 이상인 에서 컷을 찾습니다 . 이는 중량이 이상인 원래 그래프 의 컷으로 변환됩니다 ( 양의 가중치가 분리 된 모든 컷이므로 $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ 및 )는 근사치 결과보다 낫습니다. $v$

를 원하는만큼 크게 선택할 수 있기 때문에 같은 쪽의 와 를 자르기에 충분한 를 선택해도 아무런 문제가 없습니다 . 그러나 때 되도록 어떻게 선택 했 습니까? 우리는 대략 수 우리가 허락한다면 ... 정말 잘 에서 에지 가중치의 합 , 우리는 알고 . 따라서 우리는 에 대해 상당히 좁은 범위의 값을 , 와 사이의 모든 값을 를 반복 할 수 있습니다 $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ 간격으로 . 이러한 간격 중 하나에 대해 가 보장되므로 이러한 반복 중 하나가 양호한 컷을 반환합니다. $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

마지막으로, 새 그래프의 합이 양인 모서리 가중치를 가지고 있는지 확인해야합니다. 우리는 그 에지 가중치 합산 한 그래프를 시작 , 그리고 추가 에지의 가중치의 합. 이후 , 우린 OK $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— 피터 쇼어
소스

그러나 당신의 와 무엇입니까? max-cut 문제 의 일반적인 공식에는 분리해야 할 "특별 노드"가 없습니다.

u

$u$

v

$v$

— Jukka Suomela

안녕 이안-나는 그것이 효과가 있다고 생각하지 않습니다. 원래 그래프에서 최대 컷으로 분리 된 와 가 반드시 존재해야 하고 그들 사이에 큰 네거티브 에지가 추가 된 후 최대 컷으로 분리 된 상태를 유지 해야하는 이유는 무엇 입니까? 예를 들어, 완전한 임의의 음의 모서리를 추가해도 컷 값이 전혀 변경되지 않는 완전한 그래프를 고려하십시오.

u

$u$

v

$v$

— Aaron Roth

한 가지 문제는 모든 정점 쌍 사이에 음수 가장자리를 추가하면 다른 컷의 값을 다른 양으로 수정한다는 것입니다. ( 컷 의 값에서 를 뺍니다 ). 따라서 수정 된 그래프에서 max-cut의 아이덴티티가 원래 그래프의 max-cut과 반드시 일치하지는 않습니다.

| S | \cdot | \bar{S} | \cdot a

$|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S

$S$

— Aaron Roth

@ 피터 : 내가 인용 한 단락 뒤에서 당신 은 를 만들기에 충분히 작게 선택 . 한 단락에서 충분히 크고 다음 단락에서 충분히 작도록 를 선택할 수는 없습니다 ! 특히, 더 선택할 수있는 방법이 없기 하고 되도록 모두 동시에 가지고 . 이것은 모든 대한 이 임을 암시하기 때문 입니다.

a

$a$

f \approx - 0.98 O P T

$f \approx -0.98 OPT$

a

$a$

a

$a$

d

$d$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

a - (n - 2) d = f \approx - 0.98 \cdot O P T

$a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

f = a - (n - 2) d > 0

$f=a-(n-2)d > 0$

— 워렌 슈디

@Warren, 모든 컷에 대해 되도록 충분히 크게 선택하십시오 . 충분히 크게 선택하면 됩니다. 당신은 다음 선택 최적의 절단은 겨우 이상이되도록 적당한 크기를 . 내 대답의 마지막 두 단락을 읽으십시오.

d

$d$

c - d m < 0

$c-dm<0$

d

$d$

a

$a$

0

$0$

— 피터 쇼어

S. Har-Peled의 " Approximate Max Cut " 기사 에서, 논문의 마지막 줄은 max-cut의 실제 가중 버전이

SIAM Journal on Computing, grothendieck의 불평등 , Noga Alon 및 Assaf Naor 를 통한 컷 노름 근사 .

실제로 SDP 알고리즘이며, 논문에서 논의 된 감소가 비율 보존인지 확실하지 않지만 근사 비율은 0.56 인 것 같습니다. 종이를 더 깊이 들여다 보면 도움이 될 것입니다!

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

Alon-Naor의 문제는 비슷하지만 감소를 유지하는 비율이 있다고 생각하지 않습니다. 이들 문제는 최대화하는 여기서 과 인 행렬. 최대 컷과 가까운 친척 것이 중요하다고

x^{T} M y

$x^TMy$

x, y \in {\pm 1}^{n}

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

M

$M$

n \times n

$n \times n$

x = y

$x = y$

— Sasho 니콜 로프

@SashoNikolov : 컷 표준의 경우 요구하든 아니든 관계없이 일정한 요인까지 중요하지 않습니다.

x = y

$x=y$

— david

@david이 축소를 알고 있지만 실제로는여기서 모든 최대 값은 이며 은 음이 아닌 대각선과 대칭입니다. 그러나 문제 (MaxCut에 필요한 것) 와는 매우 다른 값을 가질 수 있습니다 . 예를 들어, 고려하십시오 . 여기서 는 모든 1 행렬입니다. 당신은 볼 수 관한 동안, 입니다 .

max_{x} | x^{T} M x | \leq max_{x, y} x^{T} M y \leq 4 max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{- 1, 1}^{n}

$\{-1, 1\}^n$

M

$M$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx|$

max_{x} x^{T} M x

$\max_x x^TMx$

M = I - J

$M = I-J$

J

$J$

n \times n

$n\times n$

max_{x} x^{T} M x

$\max_{x}{x^TMx}$

n / 2

$n/2$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_{x}{|x^TMx|}$

n^{2} - n

$n^2 - n$

— Sasho Nikolov

문제는 2 차 프로그래밍 문제로 축소하여 로그 근사값을 갖습니다.

MaxQP 문제는 행렬 대해 이차 형태 를 근사하는 문제입니다 . 여기서 는 입니다. MaxCut은 를 설정하여이 형식으로 작성할 수 있습니다 여기서 은 항등 행렬이고 는 인접 행렬입니다. Charikar 및 Wirth 의 MaxQP 알고리즘은 이 음이 아닌 대각선을 갖는 한 MaxQP에 대해 근사값을 제공합니다 . 따라서 이면 가중치가 음수 인 MaxCut은 로그 근사값을 갖습니다. $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— 사쇼 니콜 로프
소스