상관되지 않은 준 개인 동전이있는 추천 게임

나는 아직 해결되지 않은 게임의 복잡성에 대한 흥미로운 변형이기 때문에 나는이 질문에 대한 답에 정말로 관심이있었습니다. 그래서 현상금을 제공했습니다. 나는 원래의 질문이 너무 어려울 것이라고 생각했기 때문에 현상금에 합당한 세 가지 관련 질문을 게시했습니다. 현상금이 만료되기 전에 아무도 답변을 게시하지 않았습니다. 나중에 관련 질문 중 2 개 (원래 게시물 아래에서 논의 된 질문 3과 4)에 답변 할 수 있었으며, 준 설립 동전 (아래에 정의 된)으로 참조 된 게임의 가치를 근사화하는 것은 EXPTIME 완료된 것으로 나타났습니다. 원래 질문은 여전히 ​​답이 없습니다. 또한 흥미로운 복잡한 클래스에서 PSPACE와 EXPTIME 사이에 관련 게임을 넣는 모든 결과에 관심이 있습니다.

원래 게시물 :

이 질문은 Itai의 16 진 질문 에 대한 토론에서 영감을 받았습니다 . 심판으로 게임이 두 계산 바운드 선수 누가 개인 동전 전환 할 수 검증 다항식 시간을 통해 통신함으로써 플레이 게임이다 (따라서 권수 및 통신량은 경계 다항식 시간). 경기가 끝나면 심판은 P에서 알고리즘을 실행하여 누가 이길 지 결정합니다. 그러한 게임에서 누가 이겼는지 결정하는 것은 EXPTIME 완료입니다. 당신이 공개 코인과 공개 커뮤니케이션을 가지고 있다면, 그러한 게임은 PSPACE에 있습니다. ( Feige와 Killian, "Making Games Short"를 참조하십시오. ) 제 질문은이 두 결과의 경계에 관한 것입니다.

• 질문 : 다항식 게임을하는 계산에 제한이없는 두 명의 플레이어가 있다고 가정합니다. 레퍼리의 역할은 각 이동 전에 각 플레이어에게 몇 개의 프라이빗 코인 플립 (다른 플레이어와 관련이없는)을 제공합니다. 플레이어의 모든 움직임은 공개되어 있으므로 상대방이 볼 수 있습니다-유일한 개인 정보는 동전 뒤집기입니다. 게임이 끝나면 모든 개인 코인 플립이 공개되고, 폴리 타임 심판은이 코인 플립을 사용하고 플레이어의 움직임에 따라 누가 이길 지 결정합니다.

  심판 게임 결과에 따르면, 첫 번째 플레이어가 이길 확률은 EXPTIME이며, 분명히 PSPACE-hard입니다. 어느 쪽입니까? 이 문제에 대해 알려진 것이 있습니까?

이런 방식으로 제로섬 매트릭스 게임 (라본 노이만)을 플레이 할 수 있으므로 플레이어는 혼합 전략을 사용해야 할 수도 있습니다.

추가 된 물자 :

하자 (모든 언어의 이러한 복잡성 클래스 RGUSP를 호출 전술 한 바와 같이 상관 관계가 지정되지 않은 반 전용 동전으로 주심을 게임으로 감소 될 수있다, 그런 그 경우 , 플레이어 확률로 1 승 , 그리고 만약 , 플레이어 1은 확률로 승리 합니다. 내 세 가지 관련 질문은 다음과 같습니다.$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• 질문 2 : RGUSP는 상당히 강력 해 보입니다. 예를 들어, 심판이 메시지를 보내지 않고 선수 1과 2의 공개 메시지 만 관찰하고 비공개 메시지를 수신하도록 게임을 변경하는 경우이 게임의 값을 근사화하는 것은 여전히 ​​RGUSP와 같습니다. RGUSP가 강력하다는 것을 증명하고 싶기 때문에 자연스럽고 복잡한 클래스 C를 찾는 사람에게 현상금을 제공하여 PSPACE C RGUSP를 제공합니다.$\subseteq$$\subseteq$

• 질문 3 : 또한 클래스 RGCSP (상호 연계 동전이있는 추천 게임)가 EXPTIME 완료되었다고 강력하게 의심하며,이 사실을 증명하는 사람에게 현상금을 기꺼이 줄 것입니다. RGCSP에서 첫 번째 단계에서 심판은 두 선수에게 상관 된 임의의 변수를 제공합니다 (예를 들어, 첫 번째 플레이어에게 큰 프로젝션 평면의 한 점을, 두 번째 플레이어는이 점을 포함하는 선을 줄 수 있습니다). 그 후, 다항식 라운드 수에 대해 두 플레이어는 서로 다른 크기의 공개 메시지를 교대로 보냅니다. 경기가 끝난 후, 폴리 타임 심판은 누가 이겼는지 결정합니다. 플레이어 1의 당첨 확률을 근사화하는 복잡성은 무엇입니까?

• 질문 4 : 마지막으로, 암호화 및 확률 분포에 관한 질문이 있습니다. 상관없는 세미 프라이빗 코인이있는 심판 게임에서 두 명의 플레이어에게 명백한 이체를 수행 할 수있는 능력이 있습니까? (또는 대안으로, 승자가 EXPTIME-complete인지 결정하는 게임을 할 수 있습니까)?

원래 질문에 대답 할 수는 없지만 원래 질문이 너무 어렵다고 생각하여 현상금을 제공했을 때 추가 한 질문 3 (및 4)에 대답 할 수 있습니다. 사실, 나는 질문 3의 두 가지 증거를 가지고 있습니다.

다음은 질문 3의 설정입니다. 게임 시작시 플레이어에게 1과 2의 상관 된 랜덤 변수를 제공하는 다항식 심판이 있습니다. 그런 다음 1 번과 2 번 선수는 심판의 방해없이 게임을한다. 경기가 끝나면 심판은 대화 내용을보고 누가 이길 지 결정합니다. 나는 당신이 승자가 적어도 확률로 이길 것이라는 약속이 주어 지더라도, 그러한 게임에서이기는 사람을 결정하는 것이 EXPTIME 완료됨을 보여줄 수 있습니다 .$2/3$

======== 증거 1 ============

첫 번째 증거는 명백한 전송이 안전한 2 자 계산에 보편적이라는 사실을 사용합니다. 따라서 플레이어 1과 2가 명백한 전송을 수행 할 수있는 경우 임의의 다항식 시간 심판을 시뮬레이션 할 수 있으므로 심판 게임이 EXPTIME 완료된 이전 결과를 적용 할 수 있습니다.

이제 1-2 초의 명백한 전이를 달성하기 위해 심판은 두 선수에게 많은 "명백한 전이 상자"를 준다. 우리는 이러한 명백한 전송 상자 중 하나를 설명합니다. P1은 두 개의 난수 과 얻습니다 . P2는이 난수 중 하나 인 와 변수 ( 또는 )를 가져 옵니다 . 명백한 전송을 수행하기 위해 P1은 전송하려는 두 가지 데이터를 가져오고 XOR은 및 로 데이터를 수집합니다.$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$. 그러면 P2는이 중 하나를 디코딩 할 수 있지만 P1은 어느 P2가 디코딩 할 수 있는지 알 수 없습니다. 이것은 1-2의 명백한 전달입니다. (심판도 심판은 선수들에게 P2에서 P1로 다른 방향으로 지시되는 음란 한 이동 상자를 제공해야한다.)

처음 4 번 질문을했을 때, 안전한 2 자 계산 결과가 심판과의 이런 종류의 대화식 계산에는 적용되지 않을까 걱정했지만 실제로는 그렇게하는 것이 매우 쉽습니다.

=========== 증명 2 ===========

이제 3 번 문제에 대한 두 번째 증거를 살펴 보겠습니다. 여기로 돌아가서 Feige-Kilian 증거를 수정해야합니다. 이 증거에서, 그들은 지수 시간 계산을 실행하는 튜링 머신 T를 고려합니다. Feige와 Kilian 은 시간 에서 테이프 의 비트를 큰 유한 필드 GF ( )를 통해 다중 다항식 x_1 x_n 인코딩합니다 . 이제 심판은 P1에게 포인트를 포인트를 포함하는 라인을 P2에게주고, 두 선수는 에있는 포인트와 라인의 평가를 심판에게 돌려줍니다. 심판은 이진 검색을 사용 하여 P1과 P2의 평가 시간 를 찾습니다.$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$동의하지만 대한 그들의 평가에 동의하지 않으면 P1에게 그녀가 거짓말하는 사람인지 여부를 밝힐 수있는 현명한 질문을합니다.$Q_{t+1}$

우리가 사용할 첫 번째 것은 상관없는 랜덤 코인이 있더라도 심판이 랜덤 코인으로 커밋하려는 데이터를 XOR하게하여 비트 커밋을 수행 할 수 있다는 것입니다. 따라서 봉인 된 봉투에 물건을 넣는 P1 및 P2에 대해 이야기 할 수 있습니다.

Feige-Kilian 증거를 시뮬레이션하려고 시도 할 수있는 한 가지 방법은 심판이 P1에 여러 가지 점 , P2에 많은 행 를 부여하여 가 에 있도록하는 입니다. 이제 이진 검색의 각 단계에서 플레이어는 및 을 봉인 된 봉투에 넣고 심판은 플레이어가 열 수 있도록 무작위로 하나를 선택합니다. 두 플레이어는 값이 일치하는지 여부를 결정하고 그에 따라 이진 검색을 진행합니다. 이제 우리는 쌍을 두 플레이어 모두 점과 선의 가치를 알고 있지만 여전히 사용할 수있는 다른 (점, 선) 쌍이 많이 있기 때문입니다.$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

( 게임 시작시에만 선수에게 지시를 주면 심판이 무작위로 하나 를 선택할 수 있는가? 두 선수가 관련 시간에 가치를 밝힐 때까지 지시를 읽을 수 없습니다.)$(p_i, \ell_i)$

P1과 P2는 그들이 두 지점 (또는 선) 즉 거짓말을 시작하는 시간에 대한 일관성이 없기 때문에이 전략은 꽤 작업, P1은에 대한 올바른 가치를 부여 할 수 않습니다 및 값이 잘못되었습니다 . 이것은 바이너리 검색을 완전히 망쳐 놓고 프로토콜을 결정하지 못하게 만듭니다. 그러나 P1의 일관성을 유지하기 위해 사용할 수있는 깔끔한 트릭이 있습니다. 더미 포인트 를 P1의 포인트 세트에 추가하고 더미 라인$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$P2의 라인 세트에. 각 더미 선에 두 개의 점이 있습니다. P1이 라인의 한 더미 포인트에 대한 올바른 값을 제공하고 다른 더미 포인트에 대한 잘못된 값을 제공하면 P2가 다음 라인에 대한 값을 줄 방법이 없기 때문에 자신을 거짓말 쟁이로 나타냅니다. P1의 두 지점 중 하나를 수정하십시오. P2가 일관되게 대답하기 위해 비슷한 속임수를 쓸 수 있습니다. 그런 다음 남은 유일한 것은 Feige-Kilian 증거의 마지막 단계가 여전히 작동 함을 보여주는 것입니다. 세부 사항을 거치면이 답변이 훨씬 길어 지지만 이것은 간단합니다.