사소한 균일 회로가 있습니까?

시간에 실행 알고리즘을 감안할 때 , 우리는 최대 크기의 동일한 문제에 대해 "사소한"균일 회로 가족으로 변환 할 수 있습니다 . $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

반면에 이 최적의 실행 시간 이더라도 해당 문제에 대해 훨씬 작은 균일 회로를 가질 수 있습니다 . 회로는 생성하는 데 보다 오래 걸릴 수 있지만 크기는 작습니다. $t(n)$ $t(n)$

그러나 실제로 그러한 것을 만드는 방법을 알고 있습니까? 물어볼 초기 질문은

(1) 우리가 사소 균일 회로의 건설 예,이 있는가 즉, 크기가 같은 문제에 대한 알고리즘의 가장 잘 알려진 실행 시간보다 작은 균일 회로를?

지금, 나는이 문제가있는 경우 믿습니다 , 우리는 철저한 검색을 사용하여 최적의 회로를 찾을 지수 시간 알고리즘이 있습니다 감안할 때 , 우리 모두의 답변 적어 입력 (주셔서 ); 그런 다음 모든 정답을 제공하는 회로를 찾을 때까지 입력에 대한 모든 회로를 크기를 늘리면서 열거합니다 . 검색은 사소한 변환 크기, 중 하나에서 종료됩니다. $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ , 또는 함수의 진리표, 출력 인 경우 . (편집 : Thomas는Shannon / Lupanov로 인해경계가 임을 지적합니다.) $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

우리가 그래서 "예"만족스럽지 못한 질문에 (1)하십시오 위의 임의의 시간 동안 어려운 언어 받아 ,하지만 여전히 decidable을; 위의 절차는 크기의 진리표를 출력합니다 . $2^n$ $2^n$

그래서 우리는 질문을 다듬어야합니다 (1). 가장 흥미로운 두 가지 사례는

(2) 다항 크기의 사소한 균일 회로 의 건설적인 예가 있습니까? (매우 느린 알고리즘으로 생성 된 경우에도)

(3) 다항식 시간 생성 가능 , 다항식 비 사소한 균일 회로의 건설적인 예가 있습니까?

이것은 너무 많이 물어볼 수 있습니다. 쉬운 질문은 어떻습니까 : 우리는 그런 일이 가능하다는 것을 알고 있습니까? 아마도 사소한 균일 회로가 존재하지 않습니까?

(4)에 대한 임의의 잘못된 것으로 알려진 다음 성명 ? (편집 : , 감사 토마스.) "언어의 경우 크기의 균일 한 회로가 , 그것은 또한 시간에 실행 알고리즘을 가지고 . " 만약 그렇다면, "uniform"이 "polynomial-time-uniform", "logspace uniform"등으로 대체되는 경우는 어떻습니까? $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

마지막으로 위의 질문이 너무 어렵다면

(5) 단순히 알고리즘을 회로로 변환 (또는 진리표를 기록하는 것)하는 것이 아닌 균일 한 회로 계열로 구성된 구조가 있습니까?

추신. 내가 말한 전문가는 "중간 균일 성 및 회로 하한선"( pdf ), Santhanam 및 Williams 2013에 대해 가장 밀접하게 관련된 작업이지만, 하한선을 보여줍니다 (폴리 타임 생성 회로는 그렇지 않음). 너무 강력합니다). 다른 관련 작업에 관심이 있습니다!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— usul
소스

1,2,3,4 : 아이덴티티 기능. 5. "알고리즘을 회로로 변환하는 것"이라는 말의 의미가 명확하지 않은 경우, 균일 한 회로를 튜링 머신 (작은 오버 헤드)으로 항상 변환 할 수 있습니다.

— Kaveh

@Kaveh, re # 5 : 좋은 지적이지만, 내가 생각하고있는 것은 "이 TM을 회로로 변환하는 것"처럼 보이지 않는 균일 한 회로의 명시 적 구성을 작성하는 사람이라고 생각합니다. 또한, 당신이 언급 한 변환이 회로가 알고리즘처럼 보인다는 의미는 아닙니다. 예를 들어, 생성 하는 데

시간 이 걸리는 size-

회로가 있다고 가정하십시오 . 우리는 그것을 시간

TM 으로 바꿀 수는 있지만 회로와 매우 유사하지는 않으며 TM의 회로로의 순진한 변환은 이제 크기 ~

입니다. 이것이 왜 질문이 관심이 있는지 보여 주길 바랍니다.

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

— usul

@Kaveh : 아이덴티티 기능은 1-4로 어떻게 대답합니까?

— Joshua Grochow

@Joshua, 우리는 (와이어) 크기 O (n)의 균일 한 회로를 직접 설명 할 수 있는데, 이는 회로를 식별하기 위해 Turing 기계를 변환하는 것보다 낫습니다.

— Kaveh

요점은 질문에 대답하기 위해주의해야 할 중요한 세부 사항이 있다는 것입니다. 또 다른 예 : BPP는 P / poly이고 변환은 계산 가능합니다. 회로 생성이 효율적인 알고리즘으로 수행되면 회로 값과 결합하여 효율적인 TM을 제공합니다. 개념적으로 회로와 TM은 동일한 알고리즘을 계산합니다. 크기와 시간이 정확하게 일치하지 않을 수 있다는 사실은 정상이며, 서로 다른 계산 모델에 대해 정의되어 있으며 일치하지 않습니다. 틀림없이 시간은 크기보다 깊이에 더 가깝습니다.

— Kaveh

마지막 두 가지 질문에 대한 답변입니다.

(5) 정렬 네트워크는 최상의 RAM 알고리즘만큼 빠르게 정렬되는 균일 한 회로이지만 RAM 알고리즘의 변환 (예 : 퀵 정렬)이 아닙니다. [ AKS83 , G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ $s(n) = o(2^n/n)$

이것은 흥미로운 질문입니다. 누군가가 (1)-(3)으로 대답 할 수 있기를 바랍니다.

— 토마스는 모니카를 지원합니다
소스

고마워, 당신 말이 맞아, 나는 직관적 으로이 "상한"사건을 배제하고 싶었지만 올바른 점근 법을 몰랐다. 해당 사례를 포함하도록 질문을 편집했습니다.

— usul