사소한 제외 그래프가 쉬운 것은 무엇입니까?

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Jung / Shah의 알고리즘 을 사용하는 작은 제외 그래프에서는 대략적인 착색 수가 쉬운 것으로 보입니다 . 일반 그래프에서는 어렵지만 작은 제외 된 그래프에서는 쉬운 문제의 다른 예는 무엇입니까?

업데이트 10/24 그로 헤의 결과에 따르면 경계-트리 폭 그래프에서 테스트하기 위해 FPT 인 공식은 작은 제외 된 그래프에서 테스트하기 위해 FPT입니다. 이제 문제는-그러한 공식의 만족스러운 할당을 계산하는 다루기 쉬움과 어떻게 관련이 있습니까?

위의 진술은 허위입니다. MSOL은 경계 트리 폭 그래프에서 FPT이지만, 약간 제외 된 평면 그래프에서는 3 색성이 NP- 완전합니다.

ds.algorithms graph-theory graph-minor

— 야로슬라프 불라 토프
소스

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알려진 가장 일반적인 결과는 Grohe입니다. 요약은 2010 년 7 월에 발표되었습니다.

Martin Grohe, 미성년자 를 제외한 그래프 에서의 고정 소수점 정의 및 다항식 시간 , LICS 2010. ( PDF )

간단히 말해, 계산을 통해 고정 소수점 논리로 표현할 수있는 명령문은 하나 이상의 제외 된 마이너가있는 그래프 클래스에 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. FP + C는 고정 소수점 연산자와 정의 가능한 정점 세트의 카디널리티를 제공하는 술어로 보강 된 1 차 논리입니다. 주요 아이디어는 마이너를 제외하면 클래스의 그래프가 고정 소수점 논리 (카운팅없이)에서 정의 할 수있는 트리 형 분해를 정렬 할 수 있다는 것입니다.

~~따라서 FP + C에서 정의 할 수 있지만 계산하기 어려운 속성을 고려하면 질문에 대한 많은 답변을 얻을 수 있습니다.~~

편집 : 이것이 실제로 귀하의 질문에 대답하는지 확실하지 않습니다. Grohe의 결과에 대한 포인터와 진술은 정확하지만 잘린 텍스트가 귀하의 질문과 관련이 있다고 생각하지 않습니다. (이 점을 지적 해준 Stephan Kreutzer에게 감사드립니다.) 명확하게 설명 할 가치가 있습니다. 일반적으로 어렵지만 사소한 배제 수업이나 결정 문제에서 쉬운 계산 문제를 원하십니까?

— 안드라 살 라몬
소스

1

흥미 롭다 ... 나는이 나무와 같은 분해가 평면 그래프에서 어떻게 보이는지 궁금하다

— Yaroslav Bulatov

2

내가 찾은 유용한 정리는 속성이 FP + C로 표현 될 수 있다는 것입니다. 경계 tw 그래프에서 다항식 시간으로 결정할 수 있습니다. 이제 문제는 FP + C 의사 결정 문제의 복잡성이 유사한 계산 문제의 복잡성과 어떻게 관련이 있습니까?

— Yaroslav Bulatov

@ Yaroslav : 일단 작성되면 이것에 대한 참조를 줄 수 있습니까? 감사.

— gphilip

3

롤, 나는 그것을 실제로 발견하지 못했다. 나는 Grohe의 "논리, 그래프 및 알고리즘"2 페이지의 "발견"

— Yaroslav Bulatov

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마이너 클로즈드 그래프 패밀리의 흥미로운 특성은 퇴행성 을 경계한다는 것 입니다. 이는 경계 퇴행성 그래프에서 쉬운 모든 문제가 부-가족의 그래프에서 쉽다는 것을 의미합니다.

예를 들어, 그래프에 k 크기의 도수가 포함되어 있는지 확인하는 것은 일반적으로 어려운 문제이며 최상의 알고리즘은 입니다. 그러나, 퇴행성이 일정하다는 것을 알고 있다면, 선형 시간, 즉 O (n) 시간에서 k- 크릭을 찾을 수있다. clique 문제에 관한 Wikipedia의 기사에서도 이에 관한 정보를 제공합니다. (정확한 실행 시간은 .)이 알고리즘은 Chiba 및 Nishizeki의 것 입니다. $O(n^k)$ $O(k d(G)^k n)$

다른 예는 MathOverflow에 대한 David Eppstein의 답변 에서 경계 퇴행이있는 그래프에 대한 비슷한 질문에 있습니다.

— 로빈 코타 리
소스

5

필자의 논문 arxiv.org/abs/1006.5440 에는 모든 최대 클릭을 나열 하는 데 약간 더 나은 런타임 를 포함하여 축 퇴성이 낮은 클릭을 나열하는 최근 결과가 있습니다.

O (d n 3^{d / 3})

$O(dn3^{d/3})$

— David Eppstein

마이너 클로즈드 (답)와 마이너 제외 그래프 (질문)의 관계를 알 수 없습니다. 또한 모든 완전한 그래프 세트는 사소하게 닫혀 있지만 한계 퇴행성이 아닙니다.

— Saeed

사소한 폐쇄 = 사소한 제외. 모든 사소한 사소한 폐쇄 그래프 제품군은 퇴행성을 경계로 삼았습니다. 나는 원래 진술에 "사소하지 않은"것을 추가 했어야했다.

— Robin Kothari

우선 마이너 클로즈! = 제외 마이너 (대부분 마이너

마이너 클로즈 제외 ), 그렇지 않으면 많은 고밀도 그래프 클래스에 대해 많은 새로운 근사 및 매개 변수화 된 알고리즘을 제공 할 수 있습니다. 또한 사소한 사소한 폐쇄 그래프는 무엇입니까? 예를 들어 최대 f (| G |)의 트리 폭 그래프는 사소하거나 사소하지 않습니까? 또는 조밀 한 등급의 그래프 (가벼운 폐쇄 형과 유사하게 정렬 된)는 사소한 소량의 폐쇄 형 또는 사소한 것이 아닌가? 당신의 정의는 명확하지 않으며 독자는 당신의 마음에 무엇이 있는지 추측 할 수 없습니다 (그리고 당신의 정의의 일부는 처음에 언급 한대로 잘못되었습니다).

\subset

$\subset$

— Saeed

마이너 클로즈드 그래프 제품군의 의미를 알려줄 수 있습니다.

마이너 인

경우

얻을 수있다

가장자리 삭제 삭제 절연 꼭지점 또는 에지에 의해 수축. 그래프 패밀리는 방향이 지정되지 않은 레이블이없는 그래프

(보통 무한 세트)입니다.

모든 경우 마이너 폐쇄 가족

에서

의 모든 미성년자

에 또한

. 가족이 모든 그래프의 집합이 아니라면 사소하지 않습니다. 트리 폭

(상수

)의 그래프는 약간 닫히지 만 트리 폭

H

$H$

G

$G$

H

$H$

G

$G$

F

$F$

F

$F$

G

$G$

F

$F$

G

$G$

F

$F$

k

$k$

k

$k$

는 일반적으로 사소한 폐쇄되지 않습니다. 이것이 내가 이해하는 방법입니다. 물론 오해 할 수도 있습니다.

f (| G |)

$f(|G|)$

— Robin Kothari

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보충으로, 마이너 제외 그래프에서 알고리즘의 또 다른 유용한 속성은 이러한 그래프에 작은 구분 기호 가 있다는 것 입니다. 보다 정확하게

미성년자를 제외하고 그래프에서 분리자를 찾는 선형 시간 알고리즘 , Bruce Reed와 David R. Wood, ACM Transactions on Algorithms, 2009,

$O(n^{2/3})$ $O(n^{3/2} + m)$ $O(n^{1/2})$

분리기는 동적 프로그래밍 기술에 적합하며, 많은 NP- 완료 문제에는 근사 비율이 좋은 빠른 알고리즘이있는 것으로 나타났습니다. 솔루션이 최적의 알고리즘 또는 PTAS의 일정한 요소 내에 있다고합니다. 평면 그래프 및 일반적으로 경계 속 그래프는 마이너 제외 그래프의 문제를 해결하려고 할 때 좋은 출발점입니다.

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

구분 기호가 적절한 색상 수를 계산하는 데 도움이된다면 어떤 아이디어가 있습니까?

— Yaroslav Bulatov

1

실제로 이안이 언급 한 논문이 더 도움이 될 수도 있습니다. 결과의 확장은 SODA '07의 동일한 저자에 의한 "수축 분해를 통한 근사 알고리즘"입니다.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

15

제외 된 부차적 인 그래프에서 일반 그래프보다 다양한 NP-hard 문제를 상당히 더 잘 ( 또는 PTAS로) 추정 할 수있는 논문이 많이 있습니다. 예를 들어 : $O(1)$

알고리즘 그래프 사소한 이론 : Demaine, Hajiaghayi 및 Kawarabayashi의 분해, 근사 및 채색

이 논문은 Robertson & Seymour 정리에 의해 보장 된 배제 된 마이너 그래프에 대한 특정 (설명 적으로 복잡한) 분해의 알고리즘 버전을 제공하며, 이러한 개선 된 근사 결과를 제공합니다. 또한 그 안의 참조를 확인하십시오.

— 이안
소스

고마워, 그것은 꽤 매력적입니다 ... 나는 Grohe의 "논리, 그래프 및 알고리즘"에서 분해 알고리즘에 대한 더 접근 가능한 설명을 발견했습니다

— Yaroslav Bulatov

0

$K_5$ $K_{3,3}$

$H$ $H$

$K_t$ $(t-1)$ $K_t$ $(t-1)$ $t− 2$

— 루페이 쉬
소스