금지 된 유도 순환 하위 그래프에 의해 정의 된 그래프 클래스의 다항식 문제

MO 에서 크로스 포스트 .

는 유한 한 수의 금지 된 유도 된 그래프에 의해 정의 된 그래프 클래스라고 하자 .$C$

Clique 및 Clique cover 이외의 대해 다항식 시간으로 해결할 수있는 NP-hard 그래프 문제가 있습니까?$C$

올바르게 기억하면 독립적 인 세트 ( 아닌 경우)가 불가능합니다 .$P=NP$

graphclasses.org에서 검색 한 결과가 없습니다.

Clique 및 Clique cover가 다항식 인 클래스는 C5, C6, X164, X165, sunlet4, triangle-free입니다.

편집하다

IS와 지배에 대한 부정은 이 논문에있다 . 2 페이지, 그래프 .$S_{i,j,k}$

삼각형이없는 그래프에는 쉬운 여러 가지 어려운 문제가 있다고 생각합니다. 특히 삼각형으로 분할과 같은 삼각형을 직접 처리하는 경우 (G는 삼각형으로 분할되어 있습니까?) 다른 간단한 예는 다음과 같습니다.

• 안정적인 컷셋 문제 (G에 GS가 분리되도록 독립적 인 세트 S가 있습니까?) 그래프의 안정적인 sutset에서 이산 응용 수학을 참조하십시오 . 105 (2000) 39-50.

• 교차 그래프 기준 (G는 k- 요소 접지 세트의 하위 집합의 교차 그래프입니까?). 참고 : 문제 [GT59] : Garey & Johnson, 컴퓨터 및 난치 : NP- 완전성 이론 안내서.

Mon Tag의 답변에 대한 추가 예는 다음과 같습니다.

• 단절된 컷셋 문제 ( 는 G - S 와 S 에 의해 유도 된 G 의 하위 그래프 가 단절 되도록 일련의 꼭지점 S를 허용 합니까 )가 NP 완료입니다 ( 여기 참조 ). 이 문제는 삼각형이없는 그래프에 대해 다항식으로 해결할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다 (따라서 Mon Tag에서 언급 한 Stable Cutset 문제).$G$$S$$G-S$$G$$S$

• 삼각형 선 그래프를 인식하는 것은 NP- 완료입니다 ( 여기 참조).이 문제는 삼각형이없는 입력 그래프에 대해 다항식이된다는 것도 쉽게 알 수 있습니다.

• 최대 연결 매칭을 계산하는 것은 어렵습니다 ( 여기 참조 . 일치하는 에지 쌍에 대해 그래프의 다른 에지가 양쪽 모두에 입사하는 경우 매칭이 연결됨). 이 문제는 없는 그래프에 대해 다항식으로 해결할 수 있음을 증명할 수 있습니다 .$(C_3, C_4, C_5)$

위의 의견에서 : Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, 두 개의 금지 된 유도 하위 그래프로 특징 지워지는 그래프 클래스의 그래프 동형 : GI는 (사소한) 그래프에 대해 다항식 시간 이지만 사소한 것은 아닙니다. 대 ( K S , K 1 , t ) -free 그래프.$(K_s,I_t)\text{-free}$$(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

편집 : 주석에 언급 된 바와 같이, 에는 사이클이 포함되어 있지 않습니다 (서류를 너무 빨리 읽었습니다).$K_{1,t}$

그것에 대해 조금 생각한 후에 다음을 증명하는 것이 쉬워 보입니다 (원본?).

부정 결과 : 각 유한 집합 마다되는 H 나 클래스 제한 사이클 그래프 동형 (GI)의 문제를 포함 C 의이 ( H 1 , . . . , H K ) -free 그래프 GI-완료된다.$\{H_1,...H_k\}$$H_i$$\mathcal{C}$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$

증명 : 의 클래스 고정 각각의 그래프 H가 나는 주어진 사이클 및 포함 G (1) , G (2) , 수 있도록 R은 의 긴주기의 길이 H의 난 에스. G 1 , G 2 의 각 모서리 ( u , v ) 를 길이가 l = ⌈ r / 3 ⌉ 인 경로로 $(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$$G_1,G_2$$r$$H_i$$(u,v)$$G_1,G_2$$l = \lceil r/3 \rceil$ 추가 새로운 노드 ( U , P 1 , P 2 , . . . , P는 L이 , V ) (아래 그림 참조). 새로운 그래프로 구성하여 G ' (1) , G ' (2) 이다 ( H 1 , . . . , H의 K ) -free 실제로 가능한 최단 사이클 길이 있어야 삼각형으로 형성되어 그 3 ⌈ R / 3 $l$$(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$$G'_1, G'_2$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; 그리고 원래 G 1 , G 2 가 동형 인경우에만 이들이 동형임을 증명하기 쉽다.$3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$$G_1,G_2$

도 : 그래프 왼쪽과 등가 ( H 1 , . . . , H의 K ) -free 그래프 G ' 1 우측는 (의 긴주기한다고 가정 H는 전 길이 갖는 R = 15 이므로 G 1 의 모든 모서리는 길이 l = 5 의 경로로 대체됩니다 .$G_1$$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$G'_1$$H_i$$r=15$$G_1$$l = 5$

또한 부정적인 결과를 Hamiltonian cycle NPC 문제로 확장 할 수 있습니다. 실제로 다음과 같은 즉각적인 결과입니다 (원본?).

정리 : 이면 해밀턴 사이클 문제는 그래프 G 에 길이 ≤ k 사이클이 포함되어 있지 않더라도 NP- 완료 상태를 유지 합니다 .$k \geq 3$$G$$\leq k$

증명 우리는 해밀 토니안 사이클 문제 NPC도 평면 방향 그래프에 알고 각 노드와 V는 : 만족 O U t D E g ( V ) + I N D 전자 g ( V ) ≤ 3 (Papdimitriou 및 Vazirani에 두 여행중인 판매원 문제와 관련된 기하학적 문제). 그래프 G 를 undirectde 그래프 G ' 로 변환 할 수 있습니다. 간단히 i n d e 를 갖는 노드 v 의 들어오는 가장자리에 노드를 추가합니다.$G$$v$$outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$$G$$G'$$v$ , 및 노드의 발신 가장자리 V 가 나는 N D 전자 g는 ( V ) = 2 . 그런 다음아래 그림에서 G ' 의 노드를가젯으로바꿀 수있습니다. 두 개의 유효한 순회 (지그재그)만 있음을 쉽게 알 수 있습니다.$indeg(v )=1$$v$$indeg(v)=2$$G'$) 가젯의 각 노드를 정확히 한 번 방문합니다 (그림의 빨간색 및 녹색 경로). 가젯은 위에서 아래로 순회 할 수 없으며, 그렇지 않으면 가로 (수신 또는 발신) 경로가 잘립니다. 또한 가제트의 수직 / 수평 세그먼트에 충분한 노드를 배치하고 지그재그 수를 확장 하여 가제트 또는 서로 연결된 3 개의 가제트의 삼각형에서 길이 이상 사이클을 유지할 수 없도록 합니다. 결과 그래프 G ″ 에 해밀턴 사이클이있는 경우 원래 그래프 G 에도 해밀턴 사이클이 있습니다 (대화는 가제트 구성에 의해 즉시 발생 함).$\geq k$$G''$$G$

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$$H_i$

MAX-CUT은 NP-complete로 유지됩니다.

Lemma 3.2 단순 최대 컷은 다음 두 가지 그래프 클래스에서 NP- 완료됩니다.

$k$$k \ge 3$

그들은 가장자리를 두 번 세분화하고 있습니다.

"MAX-CUT 및 그래프의 포함 관계, Marcin Kaminski"