PLANARITY에 대한 가장 간단한 다항식 알고리즘은 무엇입니까?

다항식 시간에 평면에서 그래프를 그릴 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 여러 개 있으며 선형 실행 시간이 많은 알고리즘도 있습니다. 그러나 클래스에서 쉽고 빠르게 설명하고 PLANARITY가 P에 있음을 보여줄 수있는 매우 간단한 알고리즘을 찾을 수 없었습니다.

필요한 경우 그래프 사소한 정리처럼 Kuratowski 또는 Fary의 정리를 사용할 수 있지만 깊은 것은 없습니다. 또한 실행 시간에 신경 쓰지 않고 다항식을 원합니다.

아래는 지금까지 3 가지 최고의 알고리즘으로, 단순성 / 깊이 이론이 필요없는 절충점을 보여줍니다.

알고리즘 1 :이를 사용하여 그래프 에 다항식 시간의 부수적으로 또는 포함되어 있는지 확인할 수 있으며 , 깊은 이론을 사용하여 매우 간단한 알고리즘을 얻습니다. (이 이론은 Saeed가 지적한 바와 같이 이미 그래프 임베딩을 사용하므로이 방법은 실제 알고리즘 접근 방식이 아니며, 그래프에 대한 사소한 이론을 이미 알고 / 수락 한 학생들에게 간단히 알려주는 것입니다.)K 3 , $K_5$$K_{3,3}$

알고리즘 2 [다른 사람의 답변을 바탕으로] : 3 개의 연결된 그래프를 처리하는 것으로 충분하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 위해 얼굴을 찾은 다음 Tutte의 봄 정리를 적용하십시오.

알고리즘 3 [Juho에서 권장] : Demoucron, Malgrange 및 Pertuiset (DMP) 알고리즘. 사이클을 그리면 나머지 그래프의 구성 요소를 조각이라고하며 적절한 방법으로 새 ​​조각을 만드는 동안 포함시킵니다. 이 접근법은 다른 정리를 사용하지 않습니다.

알고리즘을 설명하겠습니다. 나는 그것이 "쉬운"것으로 자격이 있는지 확실하지 않으며 일부 증거는 그렇게 쉽지 않습니다.

먼저 찬드라 체 쿠리 (Chandra Chekuri)가 언급 한대로 그래프를 3 개의 연결 컴포넌트로 나눕니다.

1. 그래프를 연결된 구성 요소로 나눕니다.
2. 연결된 각 구성 요소를 2 개의 연결된 구성 요소로 나눕니다. 이것은 두 개의 연결된 컴포넌트 의 각 정점 에 대한 다항식 시간 확인에서 연결 여부를 있습니다.G i G i − $v$$G_i$$G_i-v$
3. 각 2 개의 연결된 구성 요소를 3 개의 연결된 구성 요소로 나눕니다. 이는 가 연결되어 있는지 여부에 각 2 개의 연결된 구성 요소 의 두 개의 서로 다른 정점 에 대한 다항식 시간 확인에서 수행 할 수 있습니다 .G i G i − { v , u $v,u$$G_i$$G_i-\{ v,u \}$

그래프의 3 개 연결 요소가 평면인지 확인하는 문제가 줄었습니다. 하자 3 연결된 기기를 나타낸다.$G$

1. 어떤 사이클 가지고 의 .$C$$G$
2. 핀의 정점 볼록 다각형의 꼭지점 등. 다른 정점을 이웃의 barycenter에 두십시오. 이것은 각 정점의 좌표를 알려주는 선형 방정식 시스템으로 이어집니다. 결과 도면으로 하자 . 교차로가있을 수 있습니다.$C$$D$
3. 경우 없는 횡단이 없습니다, 우리는 완료됩니다.$D$
4. 의 연결된 컴포넌트에서 꼭짓점 를 가져옵니다 . 유도 된 하위 그래프 에 대한 의 제한은 평면이어야합니다. 그렇지 않으면 는 평면이 아닙니다. 유도 된 서브 그래프 제한된 도면 의 모든면 를 취하고 정의하는 주기로 둡니다 . 경우 평면이 될 것입니다, 다음 얼굴 사이클해야합니다. (경우 해밀 토니안 사이클 후, 에지를 사용하여 구성한다.)G - V ( C ) D G [ U ∪ V ( C ) ] G F D G [ U ∪ V ( C ) ] C ' F G C ' C C $U$$G-V(C)$$D$$G[U\cup V(C)]$$G$$F$$D$$G[U\cup V(C)]$$C'$$F$$G$$C'$$C$$C'$
5. C 대신 C '를 사용하여 2 단계를 반복합니다. 결과 도면이 평면 인 경우 는 평면입니다. 다른 는 평면이 아닙니다.$G$$G$

비고 :

• Tutte의 스프링 임베딩이 평면 임베딩을 제공한다고 주장하는 것은 간단하지 않습니다. 나는 Edelsbrunner와 Harer, Computational Topology의 책에서 프레젠테이션을 좋아했지만 삼각 측량에만 해당됩니다. 콜린 드 베르디 에르 (Colin de Verdiere)는 http://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo-graphs-surfaces.pdf , 섹션 1.4 에서 스프링 임베딩에 대해 설명합니다 . 일반적인 참조는 Linial, Lovász, Wigderson : 고무 밴드, 볼록한 삽입 및 그래프 연결입니다. Combinatorica 8 (1) : 91-102 (1988).
• 다항식의 산술 연산에서 선형 방정식 시스템을 푸는 것은 가우시안 제거를 통해 쉽습니다. 다항식 비트 수를 사용하여 해결하는 것은 쉽지 않습니다.

Boyer와 Myrvold의 알고리즘은 최신의 평면성 테스트 알고리즘으로 간주됩니다.

최첨단 : Boyer와 Myrvold의 Edge 추가 로 단순화 된 O (n) 평면성 .

이 책은 많은 평면성 테스트 알고리즘을 조사하고 간단하게 충분한 알고리즘을 찾길 바랍니다.

Hopcroft와 Tarjan의 1974 알고리즘 {1}은 어떻습니까?

{1} Hopcroft, John 및 Robert Tarjan. "효율적인 평면성 테스트." ACM 저널 (JACM) 21.4 (1974) : 549-568.

LogSpace에서 두 알고리즘

1. Eric Allender와 Meena Mahajan-평면성 테스트의 복잡성
2. 사미르 다타와 가우 탐 프라 크리 야

두 번째는 첫 번째보다 훨씬 간단합니다.