Turing 완전한 언어 만 해석 할 수있는 전체 언어

튜링이 완료되지 않은 언어는 통역을 직접 작성할 수 없습니다. 나는 그것을 읽을 수있는 단서가 없지만 여러 번 사용 된 것을 보았습니다. 이것이 일종의 "궁극적 인"비 Turing 완전한 언어를 일으키는 것처럼 보입니다. 오직 할 수있는 것튜링 기계에 의해 해석됩니다. 이 언어들은 자연에서 자연에 이르기까지 모든 총 함수를 계산할 필요는 없으며 반드시 동형 일 수도 있습니다 (즉, 궁극적 언어 A와 B가 존재하여 A는 계산할 수 있지만 B는 할 수없는 함수 F는 존재합니다). Agda는 Godel의 시스템 T를 해석 할 수 있으며 Agda는 총체적이므로 그러한 궁극적 언어는 Godel의 시스템 T보다 더 강력해야합니다. 그러한 언어는 적어도 agda만큼 강력 할 것 같습니다 (물론 증거는 없지만 직감입니다).

이 정맥에 대한 연구가 있습니까? 어떤 결과가 알려져 있습니까 (즉, "최상의"언어가 알려져 있습니까)?

보너스 : Godel의 System T가 아직 튜링 머신에서만 해석 할 수없는 기능을 계산할 수없는 병리학 적 사례가 있다고 생각합니다. 왜냐하면 실제로 이상한 기능을 계산할 수 있기 때문입니다. 이것이 사실입니까, 아니면 그러한 언어가 Godel의 시스템 T가 계산할 수있는 모든 것을 계산할 수 있다는 것을 알 수 있습니까?

이것은 잘못 표현 된 질문이므로 먼저 이해해 봅시다. 나는 그것을 계산 성 이론의 스타일로 할 것입니다. 따라서 문자열 대신 숫자를 사용합니다. 소스 코드는 기호 문자열이 아니라 숫자입니다. 그것은 정말 문제, 당신은 대체 할 수없는 와 의 t는 r에 난 N g은 아래를 통해.$\mathbb{N}$$\mathtt{string}$

하자 될 페어링 기능 .$\langle m, n\rangle$

프로그래밍 언어 는 다음 데이터로 제공됩니다.$L = (P, ev)$

1. "유효한 프로그램" 의 결정 가능한 세트 $P \subseteq \mathbb{N}$
2. 계산 가능 하고 일부 기능 .$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

사실 decidable 수단은 계산 가능한 전체지도가 V L 난 d 개 : N → { 0 , 1 } 이되도록 V L I d 개 ( N ) = $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$ . 비공식적으로, 우리는 주어진 문자열이 유효한 코드인지 알 수 있다고 말합니다. 함수 e v 는 본질적으로 우리 언어의 해석기입니다. e v ( m , n ) 은입력 n 에서코드 m 을실행합니다. 결과는 정의되지 않을 수 있습니다.$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$

이제 몇 가지 용어를 소개 할 수 있습니다.

1. n ↦ e v ( m , n ) 이 모든 m ∈ P에 대한 총 함수 인 경우 언어는 총계 입니다.$n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$
2. 언어 해석 된 언어 L 2 = ( P (2) , 즉 V 2 ) 가 존재하는 경우 U ∈ P 1 이되도록 전자 (V) (1) ( U , ⟨ N , m ⟩ ) ≃ 전자 V 모든 n ∈ P에 대해 2 ( n , m $L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$$u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$및 . 여기서 U는 하기위한 시뮬레이터 L 2 구현 L 1 . L 2에 대한 범용 프로그램 이라고도합니다 .$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

" 은 L 2를 해석합니다 "의 다른 정의 도 가능하지만 지금은 다루지 않겠습니다.$L_1$$L_2$

우리는 말할 및 L 2는 서로를 해석하면 동일합니다.$L_1$$L_2$

튜링 머신의 "가장 강력한"언어 가 있으며, 여기서 n ∈ N 은 튜링 머신의 인코딩이고 φ ( n , m ) 은 " 입력 m 에서 튜링 머신 인코딩 된 n 을 n 으로 실행하는"부분 계산 기능 . 우리는 e v 가 계산 가능 해야했기 때문에이 언어는 다른 모든 언어를 통일 할 수 있습니다 .$T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$

프로그래밍 언어에 대한 우리의 정의는 매우 편안합니다. 다음을 진행하려면 세 가지 조건이 더 필요합니다.

• 은 후속 함수를 구현합니다.모든 m ∈ N 에 대해 e v ( s u c c , m ) = m + 1 과 같은 s u c c ∈ P가 있습니다 .$L$$succ \in P$$ev(succ,m) = m+1$$m \in \mathbb{N}$
• 구현은 대각선 기능 : 거기 거라고 나에게 g ∈ P가 되도록 전자 V ( D I g , m ) = ⟨ m , m ⟩ 모든 m ∈ N ,$L$$diag \in P$$ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$$m \in \mathbb{N}$
• 함수의 조성에 따라 폐쇄된다 : 만약 L의 구현 F 및 g 다음과 같은 구현 F ∘ g ,$L$$L$$f$$g$$f \circ g$

고전적인 결과는 다음과 같습니다.

정리 : 언어가 자기 자신을 해석 할 수 있다면 전체가 아닙니다.

증명. 가정 총 langauge에 대한 범용 프로그램 L 구현 L 모두, 즉, m ∈ P 및 N ∈ N , E의 V ( U , ⟨ m , N ⟩ ) ≃ E V ( m , N ) . 후계자, 대각 및 e v ( u , - ) 는 L 로 구현 되므로 구성도 k $u$$L$$L$$m \in P$$n \in \mathbb{N}$

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ $ev(u, {-})$$L$ . 존재 N 0 ∈ P가 되도록 전자 V ( n은 0 , K ) ≃ 전자 V ( 유 , ⟨ K , K ⟩ ) + 1 , 그러나 전자 V ( U , ⟨ n은 0 , n은 0 ⟩ ) ≃ E V $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$$n_0 \in P$$ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$ 에는 숫자 자체 후속 동일하지 존재하므로, 그것은 그 다음 L을 합계 없거나 그 L은 그 자체를 해석하지 않는다. QED. $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ $L$$L$

후속 맵을 다른 고정 소수점없는 맵으로 바꿀 수 있음을 관찰하십시오.

여기에 오해를 정리할 수있는 작은 정리가 있습니다.

정리 : 모든 전체 언어는 다른 전체 언어로 해석 될 수 있습니다.

증명. 전체 언어로 하자 . 우리는 전체 얻을 L ' 하는 해석 L를 에 인접하여 L 의 평가자 전자 절 . 보다 정확하게 할 수 P ' = { ⟨ 0 , N ⟩ | N ∈ P } ∪ { ⟨ 1 , 0 ⟩ } 및 정의 전자 브이 ' 로 전자 V ' ( ⟨ B , N ⟩ , $L$$L'$$L$$L$$ev$$P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$$ev'$ 물론, L이 ' 때문에 토탈 L은 전체이다. 그 보려면 L을 ' 시뮬레이션 할 수 있습니다 L은 단지 걸릴 유 = ⟨ 1 ,

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ $L'$$L$$L'$$L$ , 이후 전자 V ' ( U , ⟨ m , N ⟩ ) ≃ E V ( m , N ) , 필요에 따라. QED.$u = \langle 1, 0\rangle$$ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$

연습 문제 : [2014-06-27에 추가됨] 위에 구성된 언어 는 작곡으로 닫히지 않습니다. 그래서 정리의 증명을 수정 L ' 경우 만족 여분의 요구 사항을 L가 않습니다.$L'$$L'$$L$

$L$$L'$$L'$$L$$L$$L$

튜링이 완료되지 않은 언어는 통역을 직접 작성할 수 없습니다.

이 문장이 잘못되었습니다. 모든 문자열의 의미가 "입력을 무시하고 즉시 중지"인 프로그래밍 언어를 고려하십시오. 이 프로그래밍 언어는 완전하지는 않지만 모든 프로그램은 해당 언어의 통역사입니다.