확률 적 튜링 머신이 정지 문제를 해결할 수 있습니까?

무한한 비트 스트림이 제공되는 컴퓨터는 하나가없는 컴퓨터보다 강력합니다. 문제는 : 정지 문제를 해결하기에 충분히 강력합니까?

즉, 확률 론적 컴퓨터가 결정 론적 프로그램의 중단 여부를 결정할 수 있는가?

결정 론적 컴퓨터로는 할 수없는 일을하는 확률 론적 컴퓨터의 예 : 기가 바이트보다 큰 Kolmogorov 복잡성을 갖는 문자열을 출력하는 작은 프로그램 (길이 킬로바이트 미만)을 고려하십시오. 콜 모고 로프의 복잡성문자열의 길이는 해당 문자열을 생성하는 가장 짧은 결정 론적 프로그램의 길이입니다. 따라서 정의에 따라 결정 론적 프로그램은 복잡성이 자체 길이보다 큰 문자열을 생성 할 수 없습니다. 그러나, 실제로 임의의 비트의 무한한 스트림이 주어진 경우, 작은 프로그램은 단순히 100 억 개의 임의 비트를 반향하여 Kolmogorov 복잡도가 높을 것으로 기대하여 99.99999 ... %의 성공률을 달성 할 수 있습니다. . 따라서 우수한 콜로 모고 로프 복잡성의 문자열을 생성하는 것은 확률 론적 프로그램의 가능한 지평 내에 있지만 결정 론적 프로그램에는 전혀 불가능합니다.

즉, 진정으로 무작위 비트를 사용하여 정지 문제에서 쇠톱을 사용할 수 있는지 궁금합니다. 예를 들어, 알고리즘은 주어진 결정 론적 프로그램이 정지한다는 것을 증명 / 반증 할만큼 충분히 알 때까지 이론을 무작위로 생성하고이를 증명 / 불법 / 폐기 할 수 있습니다.

편집 : 방금 내가 쓴 것들 중 일부가 완전히 말도 안된다는 것을 깨달았습니다. 죄송합니다. 이제 증명을 변경하고보다 정확한 확률 론적 기계를 정의했습니다.

나는 확률 적 튜링 기계에 대한 당신의 정의를 올바르게 얻었는지 모르겠습니다 : 그것은 무한한 압축 할 수없는 문자열이 쓰여지는 추가 테이프가있는 기계이며 그 외에도 결정 론적 기계처럼 작동합니까? 압축 불가능한 문자열을 수정하면 우리가 얻는 클래스는 흥미로워 보이지 않습니다.

우리는 여러 가지 방법으로 확률 적 튜링 머신을 정의 할 수 있다고 생각합니다. 나는 아주 자연스러운 것 같은 정의를 사용합니다 (그리고있는 내 증거가 작동을)의 그런 확률 기계를 정의 할 수 있습니다 : 그것은 어떤 무한 문자열이 기록되어있는 추가 테이프를 가져, 우리는이 기계가 언어를 결정 말할 를위한 경우를 모든 은 확률이 중단되고 수락 됩니다. 확률이 추가 임의 문자열을 인수 할 때 마다 는 중단되고 확률 거부됩니다 .x ∈ L > $L$$x \in L$ x∉L>$>\frac{1}{2}$$x \not \in L$$>\frac{1}{2}$

이제 결정 론적 기계의 정지 문제를 해결 하는 확률 론적 기계 가 존재 하면 결정 론적 기계 의 정지 문제를 해결 하는 결정 론적 기계 H 를 구축하는 데 사용할 수 있음을 알 수 있습니다. 존재할 수 없습니다.$P$$H$

그러한 가 존재 한다고 가정하십시오 . 우리는 결정적 기계 구조체 수 M 입력으로서 확률 기계 얻어 R을 일부 입력과 X를 어느$P$$M$$R$$x$

• 이 x를 허용하는 경우에만 (즉, R이 중단하고 무작위 문자열의 절반 이상 에서 x 를 허용하는 경우) 중지 합니다.$R$$x$$R$$x$
• 이 x를 거부하는 경우에만 중단하고 거부합니다 (즉, R이 무작위 문자열의 절반 이상에서 x 를 중단하고 거부 함 ).$R$$x$$R$$x$
• 그렇지 않으면 루프

기본적으로, 것 모두 내가 ∈ 1 , 2 , . . . 시뮬레이션 R 입력에 X 및 각 문자열에서의 0 , 1 I 의 스트링의 접두사로서 R 의 임의의 테이프. 지금:$M$$i \in 1, 2, ...$$R$$x$${{0,1}}^i$$R$

• 경우 용 임의의 테이프에서i비트보다 많은비트를 읽으려고하지 않고길이가 2 인 접두사iR정지 및 허용M이정지$>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• 경우 용 임의의 테이프에서i비트보다 많은비트를 읽으려고하지 않고길이가 2 인 접두사iR정지 및 거부,M정지 및 거부$>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• 그렇지 않으면 은 i : = i + 1로 시뮬레이션을 실행합니다 .$M$$i := i+1$

만약 우리가 이 확률 p > 1 인 x 를 받아들이면 (거부)$R$$x$ , 그런 다음 일부i의경우>1을 수락 (거부)합니다$p >\frac{1}{2}$$i$임의 테이프에서i비트이상을 읽으려고하지 않고 임의 문자열의 길이i의 2 개의 접두사. 그것은 기술적이지만 매우 쉽습니다-만약 우리가 다르게 가정한다면 받아 들일 (거부) 확률은p>1에접근합니다$>\frac{1}{2}$$i$$i$ 로난일부 따라서 무한대나는것이 될 것이다P>$p >\frac{1}{2}$$i$$i$ .$p >\frac{1}{2}$

이제 우리는 결정 론적 기계 정의 하여 정지 문제를 해결한다 (즉, 주어진 결정 론적 기계 N 이 주어진 단어 x를 받아들이 는지 결정 ) a H ( N , x ) = M ( P ( N , x ) ) . 참고 M ( P ( N , x는 ) ) 우리의 확률 기계에 의해 언어를 결정하는 것은 이러한 방식으로 정의 되었기 때문에 항상 정지하고, 그 두 가지 중 하나가 항상 발생 :$H$$N$$x$$H(N,x) = M(P(N,x))$$M(P(N, x))$

• 기계가 무작위 문자열을 반 이상 중단하고 수용합니다.
• 기계는 임의의 문자열을 반 이상 중단하고 거부합니다.

확률 알고리즘이 의미하는 바에 따라 일부 술어가 결정됩니다.

결정적 튜링 머신 M에 대해 간단한 확률 알고리즘 P가 있습니다 .

• M이 중단 되면 P ( M )은 0이 아닌 확률로 받아들입니다 .
• M 이 멈추지 않으면 P ( M )은 절대로 받아들이지 않으며
• P ( M )은 M 마다 확률 1로 정지 합니다.

따라서, 확률 론적 알고리즘 ( P) 은 이러한 의미에서 결정 론적 튜링 머신의 정지 문제를 해결한다. (여기서 " M을 정지하는"수단 " M의 빈에 대한 입력은 정지.")

그러나 현명한 방법으로 요구 사항을 강화하면 더 이상 결정 론적 튜링 기계의 정지 문제를 해결할 수 없을 것입니다. 예를 들어

• 당신이 필요한 경우 P ( M을 중단) 항상 대신 단순히 확률 1 , 분명하다 P는 결정 론적 알고리즘을 시뮬레이션 할 수 있습니다. "항상"과 "확률이 1 인"의 차이점에 대한 설명은 Wikipedia 를 참조하십시오 .
• P ( M )을 중단하여 모든 M에 대해 1/2보다 큰 확률로 정답을 제공 하여 오차 범위를 엄격 하게 설정 하면 (즉, P ( M )이 중단되거나 중단되지 않는 경우에는 신경 쓰지 않습니다. 사건의 나머지 부분에서 잘못된 대답을)주고, 다음 P는 에 명시된 인수 사용하여 결정 알고리즘에 의해 시뮬레이션 할 수 있습니다 카롤리나 Sołtys의 답변을 .

따라서 확률 론적 알고리즘은 이러한 의미에서 결정 론적 튜링 머신의 정지 문제를 해결할 수 없습니다.

$P$$P$$P$

이것이 라파엘의 의견의 의미라고 생각합니다.

$A\subseteq\mathbb N$$A$

de Leeuw, K., Moore, EF, Shannon, CE 및 Shapiro, N. 확률 론적 기계에 의한 계산, Automata study, pp. 183–212. 수학 연구의 연대기. 34. Princeton University Press, 1956 년 뉴저지 프린스턴

G. 자루, 프린스턴 대학 출판부, 1963 년