이 TQBF 변형은 여전히 ​​PSPACE-complete입니까?

다음과 같은 정량화 된 부울 공식인지 결정

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

항상 참으로 평가되는 것은 고전적인 PSPACE- 완전 문제입니다. 이것은 교대로 움직이는 두 플레이어 사이의 게임으로 볼 수 있습니다. 첫 번째 플레이어는 홀수 ​​변수의 진리 값을 결정하고 두 번째 플레이어는 짝수 변수의 참값을 결정합니다. 첫 번째 플레이어는 false 로 만들고 두 번째 플레이어는 true로 만듭니다. 이기는 전략을 가진 사람을 결정하는 것은 PSPACE-complete입니다.$\varphi$

나는 두 명의 플레이어와 비슷한 문제를 고려 중입니다. 하나는 부울 수식 true로 만들고 다른 하나는 false로 만듭니다. 차이점은 이동시 플레이어가 변수와 진리 값을 선택할 수 있다는 것입니다 (예 : 첫 번째 이동으로 플레이어 1은 을 true 로 설정 한 후 다음 이동에서는 플레이어 2가 결정할 수 있음) 을 false 로 설정 ). 이는 플레이어가 순서로 게임을하는 대신 진리 값을 할당하려는 변수 (진실 값이 할당되지 않은 변수)를 결정할 수 있음을 의미합니다 .$\varphi$$x_8$$x_3$$x_1 , \ldots , x_n$

변수 에 부울 공식 가 주어 지면 플레이어 1 (거짓을 만들려고 함) 또는 플레이어 2 (참이려고하려고 함)가 승리하는 전략이 있는지 여부를 결정합니다. 게임 트리의 깊이는 선형이므로이 문제는 여전히 PSPACE에 있습니다.$\varphi$$n$

PSPACE가 완료된 상태로 유지됩니까?

그것은이다 정렬되지 않은 제약 만족도 게임 과는 PSPACE-완료 하고 최근 PSPACE 완성 것으로 판명되었습니다 ; 증거는 다음에서 찾을 수 있습니다.

Lauri Ahlroth와 Pekka Orponen, Unorder Constraint Satisfaction Games . Computer Science Volume 7464, 2012, pp 64-75의 강의 노트.

추상:부울 제약 조건 시스템에서 2 인 제약 조건 만족 게임을 고려합니다. 여기에서 플레이어는 사용 가능한 변수 중 하나를 선택하고 최대 (플레이어 I의 경우) 또는 최소화 (플레이어의 경우)를 목표로 true 또는 false로 설정합니다. II) 만족 된 제약의 수. 표준 QBF 타입 변수 할당 게임과는 달리, 우리는 변수가 재생되는 순서를 부과하지 않습니다. 이로 인해 게임 설정이 더욱 자연 스럽지만 제어하기가 더 어려워집니다. 제약 조건이 제약 조건의 arity에 비해 작은 임계 값을 갖는 패리티 함수 또는 임계 값 함수 인 경우 플레이어 I에 대한 다항식, 상수 인자 근사화 전략을 제공합니다. 또한 우리는 플레이어 I이 모든 제약 조건을 만족시킬 수 있는지 결정하는 문제 가이 비 정렬 설정에서도 PSPACE-complete임을 입증합니다.

내용에서 :

...
순서없는 제약 만족 게임의 일반적인 예는 GBF ( Game on Boolean Formulas )입니다. 이 게임의 인스턴스는 일반적인 n 변수 세트 에 대해 m 개의 상수가 아닌 부울 수식 . 일반적으로 의 공식을 분리로 요구하지는 않지만 의 공식 을 절이라고합니다. ... 의 게임은 진행할 때마다 플레이어가 움직일 때 이전에 선택되지 않은 변수 중 하나를 선택하고 진실 값을 할당합니다. 플레이어 I이 시작되고 모든 변수에 값이 할당되면 게임이 종료됩니다. GBF 의 의사 결정 버전에서$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$, 문제는 플레이어 I이 포괄적 인 승리 전략을 가지고 있는지 여부이며,이를 통해 플레이어 II가 무엇을하든 모든 조항을 만족시킬 수 있습니다. 긍정적 인 경우 인스턴스는 GBF 만족 가능 하다고합니다 . ..

... 정리 4 : 부울 공식의 GBF 만족도 를 결정하는 문제 는 PSPACE-complete입니다.

편집 : Daniel Grier 's는 결과가 70 년대 Schaefer에 의해 결정되었다는 것을 발견했습니다. 참조 를 위해이 페이지 에서 그의 답변을 참조하십시오 (:-). Schaefer는 각 조합에서 최대 11 개의 변수를 갖는 양성 CNF 공식 (즉 부정 된 변수가 발생하지 않는 결합 된 정규 형태의 명제 공식)으로 제한 되더라도 게임이 여전히 PSPACE- 완료됨을 증명했습니다 .

이 문제는 70 년대 토마스 쉐퍼 (Thomas Schaefer)가  유한 한 2 인용 완전 정보 ​​게임을 기반으로 한 결정 문제의 복잡성 에서 70 년대에 해결되었다는 점도 주목할 만하다 . 실제로, 그는 긍정적 인 CNF 공식으로 제한 되더라도 언어가 PSPACE- 완료 상태를 유지한다는 약간의 강한 결과를 증명합니다.

우리는이 게임이 5-CNF에 대해 PSPACE-complete이지만 2-CNF에 대한 Linear Time 알고리즘을 가지고 있음을 증명했습니다. 가장 좋은 결과는 Ahlroth와 Orponen의 6-CNF였습니다.

ISAAC 2018 에서 회의 논문을 찾을 수 있습니다 .

업데이트 : 2019 년 11 월 16 일

우리는 3-CNF에 대한 일부 제한에 따라 3-CNF에 대해 게임을 다루기 쉽다는 것을 증명했습니다. 우리는 또한이 게임이 3-CNF에 대한 제한없이 다루기 쉽다고 근본적으로 추측했다. ECCC 에서 초기 버전을 찾을 수 있습니다 .