장관 채용 게임

이것은 고전적인 비서 문제 의 연장이다 .

채용 게임에는 후보자 세트가 있습니다. $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$ 각 직원의 숙련도에 따라 주문합니다.

Wlog, 우리는 가정 $c_1$ 가장 숙련되고 $c_2$ 등

응시자들의 인터뷰 순서는 무작위로 균일하게 선택되며 고용주에게 알려지지 않습니다.

이제 두 명의 고용주가있는 시장이 있다고 가정하십시오. 매 라운드마다 새로운 후보자가 두 회사를 대상으로 인터뷰를하고 있습니다. $A,B$ ). 인터뷰 중 $A$ 과 $B$ 현재 인터뷰 대상자를 포함하여 모든 과거 후보자의 부분적 순서를 준수하십시오. 그런 다음 회사는 (독립적으로) 오늘 신청자를 고용할지 여부를 결정합니다.

불행히도 $B$ , 그것은 재정적으로 경쟁 할 수 없습니다 $A$ 의 제안입니다. 둘 다 노동자에 대한 제안을 연장하는 경우, $A$ 우선권을 얻습니다.

또한, 일단 비서 서명을 한 후, 회사는 더 이상 후보자를 면담 할 수 없으며 경쟁자 는 서명을 알게됩니다 .

각 회사의 목표는 고용하는 더 나은 숙련 이 알려진대로 더 나은 비서와 회사가를 인수 할 수 있어야한다고, (하나의 회사가 최고의 장관을 찾을하고자하는 고전적인 문제, 반대로) 후보를 시장.

대기업으로서 최적의 전략은 무엇입니까 ( $A$ )?

소규모 회사는 어떻습니까 ( $B$ )?

두 회사 모두 균형 전략을 수행 할 경우 확률은 얼마입니까? $B$ 더 나은 작업자를 얻는가?

A의 관련 작업 , 칼라이 등. 두 회사가 후보를 유치하는 동일한 힘을 갖는이 문제의 대칭 버전에 대해 설명합니다.

이 설정에서 단순 (대칭) 평형은 남은 후보보다 그녀가 더 나아질 확률이 50 % 이상인 경우 비서를 고용한다는 것입니다.

이 결과가 설정에서 어떻게 변경됩니까?

ds.algorithms gt.game-theory

— RB
소스

회사 $A$ / 회사 / 거대한 회사 / "큰 제약"/ "THE MAN"전략은 대칭 버전에서 변경되지 않습니다.

이후에 더 적은 후보 만 볼 확률이 다음과 같은 라운드를 고려하십시오. $> .5$ . 회사라면 $A$ 후보를 유지하면 이길 확률이 있습니다 $> .5$ . 만약 $A$ 후보를 지키지 않으면 회사 $B$ 후보자와 회사를 고용 할 수 있습니다 $A$ 이길 기회가있다 $< .5$ . 그래서 분명히 회사 $A$ 고용 할 것 $B$ 이 상황에서 고용하려고합니다.

승률이 정확히 맞는 후보자 $.5$ , $A$ 고용을 선택하거나 선택하지 않을 수 있지만 $B$ 고용을 선택했기 때문에 $B$ 보다 더 나은 확률을 얻을 수 없습니다 $.5$ .

회사라면 $A$ 우승 기회를 가진 후보자를보기 전에 고용 $>= .5$ 더 나은 미래의 후보가 존재할 가능성이 높기 때문에 $B$ 우승) $> .5$ . 그래서 $A$ 승률 후보를 볼 때까지 고용하지 않습니다 $>= .5$ .

따라서, $A$ 의 전략은 대칭 사례와 동일합니다. $> .5$ .

$B$ 전략은 다음과 같이 구성됩니다. $A$ 의 전략을 염두에두고 있습니다. 분명히 $A$ (또는) 전에 고용 $B$ 그런 다음 $B$ 의 전략은 다음보다 나은 다음 후보를 고용하는 것입니다 $A$ 의 경우입니다. 또한, 후보가 승리 확률로 올 경우 $> .5$ , $B$ 그래도 고용을 시도해야한다 $A$ 또한 고용을 시도하고 $B$ 계속 찾고 있습니다).

남은 유일한 질문은 $B$ 우승 확률이 높을 때 고용 $<= .5$ . 대답은 그렇습니다.

직관적으로, 후보와의 승리 확률이 $.5 - \epsilon$ . 또한, 당첨 확률이 높은 미래의 후보 인 "나중에있을 것"(나중에 설명 할 것)이 있습니다 $> .5 + \epsilon$ . 그러면 도움이 될 것입니다 $B$ 이전 후보를 선택합니다.

허락하다 $d_r$ 라운드에서 인터뷰 후보자 $r$ 모든 $1 <= r <= N$ .

공무상, $B$ 의 전략은 : "hire $d_r$ 그렇지 않은 경우보다 승리 확률이 더 높습니다 ". 다음은 이러한 결정을 계산하는 방법입니다.

허락하다 $p_{r,i}$ 면접 및 채용 후 당첨 확률 $d_r$ 주어진 $d_r$ 입니다 $i$ 면접 후보. 그때:

$p_{r,i} =$ 그 확률 $d_s < d_r$ ...에 대한 $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

특히 $p_{r,i}$ 일정한 정확도로 쉽게 계산할 수 있습니다.

허락하다 $P_{B,r}$ 가능성이있다 $B$ 어느 회사도 라운드에 고용되지 않은 경우 승리 $1$ ...을 통하여 $r-1$ .

그때 $B$ 고용 할 것이다 $d_r$ 채용 후 당첨 확률 $d_r$ ~보다 낫다 $P_{B,r+1}$ .

참고 $P_{B,N} = 0$ 마지막 라운드 인 경우 $A$ 고용 보장 $B$ 누구를 고용하지 않고 느슨한 것입니다.

그런 다음 라운드 $N-1$ , $B$ 고용을 시도하고 보장되지 않는 한 성공합니다 $A$ 고용합니다. 그래서:

P_{B, N - 1} = \sum_{i = 1}^{N - 1} \frac{1}{N - 1} {\begin{array}{lcl} p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} < .5 \\ 1 - p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} >= .5 \end{array}

$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$

재귀 함수로 연결되는

P_{B, r} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{1}{r} {\begin{array}{lcl} 1 - p_{r, i} & : & p_{r, i} >= .5 \\ p_{r, i} & : & P_{B, r + 1} < p_{r, i} < .5 \\ P_{B, r + 1} & : & else \end{array}

$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$

꽤 분명하다 $P_{B,r}$ 다항식 시간에서 일정한 정확도로 계산할 수 있습니다. 마지막 질문은 "확률은 얼마입니까? $B$ 이기는? " $P_{B,1}$ 에 따라 다릅니다 $N$ .

얼마나 자주 하는가에 대한 질문 $B$ 승리? 정확히 계산하지는 않았지만 $N$ 1에서 100 사이에서 $N$ 자라서 $B$ 우 승률은 0.4 정도입니다. 방금 빠른 파이썬 스크립트를 확인하고 부동 숫자의 반올림 오류에주의를 기울이지 않았기 때문에이 결과가 꺼져있을 수 있습니다. 실제 하드 한계는 0.5입니다.

— 비 ej
소스