Unique Label Cover에서 Max-Cut으로의 축소에 대한 순전히 그래프 이론적 설명

나는 독특한 게임 추측과 Max-Cut of Khot 등의 유명한 축소를 공부하고 있습니다. 논문과 인터넷의 다른 곳에서 대부분의 저자는 MAX-CUT 축소와 긴 코드에 대한 특정 테스트 구성 간의 암시 적 동등성을 사용합니다. 그 동등성에 대한 명확성이 부족하기 때문에 나는이 생각의 흐름을 따르기 위해 고군분투한다.

또한 이러한 설명에서 감소는 순전히 그래프의 관점에서 설명 할 수 있지만 우연의 일치 나 선호에 의해 아무도 그렇게하지 않기로 선택합니다. 예를 들어, O'Donnell의 강의 노트 에서 그는 긴 코드 테스트가 구성되는 그래프의 가장자리에 대한 자연스러운 정의에 해당하지만 규칙이 컷의 선택에 따라 달라지는 것으로 보이지 않기 때문에 힌트를줍니다. 테스트되는 부울 함수를 정의하기 위해 혼란스러워했습니다.

그래서 저는 누군가에게 감소를 "그냥"그래프 이론적으로 설명하도록 요청하고 있습니다. 이것이 두 관점 사이의 동등성을 이해하는 데 도움이 될 것이라고 생각합니다.

이를 명확하게 설명 할 수 있는지 살펴 보겠습니다. UG 인스턴스가 이분 그래프 , bijections . 여기서 및 . UG 인스턴스가 만족할 수있는 경우 가 큰 컷을 가지며 UG 인스턴스가 delta-만족할 수 없는 경우 가 매우 작은 컷만 갖도록 새 그래프 를 구성하려고합니다 .$G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$$H$

그래프 는 각 꼭짓점에 대해 점 의 구름을 포함 하며 각각 레이블이 지정됩니다 . 의도는 레이블의 긴 코드 인코딩 을 컷으로 해석 할 수 있어야한다는 것 입니다. 긴 코드로 일부 를 인코딩 하려면 부울 함수 . 특히 독재자 함수 입니다. 다음과 같이 긴 코드 인코딩에서 컷 (정점의이 분할)를 만들어 봅시다 . 만약$H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$$f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$부울 함수로 인코딩 된 라벨 갖는다 , 정점의 구름 이동 에 대응 및 넣어 일부가 표시되어 구름 모든 정점 되는 . 다른 모든 사람들은 로갑니다 . 의 컷을 기반으로 모든 부울 함수를 할당하기 위해이 작업을 거꾸로 수행 할 수 있습니다 .$f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$$w \in W$$H$

축소가 작동하려면 컷 의 값만보고 컷에$S\cup T$ 해당하는 부울 함수가 대한 레이블 할당의 긴 코드 인코딩에 가까운 지 여부 만 알 수 있어야 합니다. 이는 의 많은 UG 제약 조건을 충족시킵니다 . 따라서 문제는 컷 의 가치 에서 얻는 정보 입니다. 임의의 두 정점 고려 레이블 클라우드가 해당 와 레이블로 대응하는 클라우드 감소에 우리는 볼 ($W$$G$$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$$w$, 는 다른 구름에 있습니다). 컷을 사용하여 부울 함수 및 를 도출 할 수 있다고했습니다 . 지금 에지가있는 경우 에서의 다음 절단의 경우에만 . 따라서 컷의 값만 사용하여 부울 함수가 "양호"인지 알 수있는 것은 부울 함수 대해 테스트 한 것과 동일 합니다. 지정된 쌍의 일부 에는 있습니다.$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

즉, Ryan이 " "인지 테스트 할 때마다 실제로 의미하는 바는 " "에서 라는 구름의 정점 사이에 모서리를 추가합니다. 하여 및 클라우드 정점 로 표시된 ". 즉, 모든 , 모든 이웃 및 모든 에 대해 표시된 의 구름에서 정점 사이의 가장자리를 포함합니다. 과의 구름 정점 에 의해 표시된 및 할당 에지 웨이트$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ 여기서 는 와 사이의 해밍 거리 입니다. 이러한 방식으로 컷의 값을 총 에지 중량으로 나눈 값은 테스트의 성공 확률과 정확히 같습니다.$d$$x$$y$