이론적 컴퓨터 과학의 대수 지향적 지점

나는 대수학에 매우 강한 기초를 가지고 있습니다.

• 정류 대수,
• 상동 대수,
• 현장 이론,
• 범주 이론

저는 현재 대수 기하학을 배우고 있습니다.

저는 이론적 인 컴퓨터 과학으로 전환하려는 성향을 가진 수학 전공입니다. 위에서 언급 한 분야를 염두에두고 이론적 컴퓨터 과학에서 어떤 분야를 전환해야합니까? 즉, 위의 분야를 추구함으로써 얻은 이론과 수학적 성숙도는 어느 분야에서 유리하게 사용될 수 있는가?

유형 시스템 을 호모 토피 유형 과 관련시키는 의존적 유형 이론 에서 최근의 발전이 있었다 .

이것은 현재 상대적으로 작은 분야이지만 지금 당장 수행되고있는 흥미로운 작업이 많고 잠재적으로 낮은 매달린 과일이 많이 있습니다. 대수학 토폴로지 와 상동 대수학의 결과를 포팅 하고 더 높은 유도 형 의 개념을 공식화하는 데 가장 주목할 만합니다 .

대수 기하학은 대수 복잡성 이론, 특히 기하학적 복잡성 이론에 많이 사용됩니다. 표현 이론은 후자에게도 중요하지만 대수 기하학 및 상동 대수와 결합 할 때 더 유용합니다.

필드 이론에 대한 지식은 암호화에 유용하지만 범주 이론은 프로그래밍 언어 및 타이핑 시스템에 대한 연구에서 많이 사용되며, 둘 다 수학의 기초와 밀접한 관련이 있습니다.

필드 이론 및 대수 기하학은 고전적인 설정뿐만 아니라 로컬에서 디코딩 가능한 코드 및 목록 디코딩을 연구 할 때뿐만 아니라 오류 수정 코드와 관련된 주제에 유용합니다. 나는 이것이 Reed-Solomon 및 Reed-Muller 코드에서 다시 작동하여 대수 기하학 코드로 일반화되었다고 생각합니다. 예를 들어,이 책 은 대수 기하학 코드의 고전적인 코딩 이론 관점, 로컬로 디코딩 가능한 코드에 대한 간단한 설문 조사 및 Reed-Solomon 목록 디코딩에 대한 이 유명한 논문 ,보다 일반적으로 대수 기하학 코드에 대한이 장을 참조하십시오.

컴퓨터 학습 이론, 기계 학습 및 컴퓨터 비전에는 정류 대수 및 대수 기하학을 사용하여 해결할 수있는 몇 가지 문제가 있습니다. 예를 들어, 베이지안 추론을위한 메시지 전달 알고리즘 인 Belief Propagation 알고리즘의 수렴은 다양한 다항식의 시스템을 특성화하는 관점에서 공식화 될 수 있습니다 .

컴퓨터 대수를 보는 것에 대해 생각해 보셨습니까? Axiom은 유형 시스템이 범주 이론 (또는 사용자의 관점에 따라 범용 대수)을 따라 모델링되는 컴퓨터 대수 시스템입니다. Axiom FriCAS 와 OpenAxiom 의 두 가지 파생 상품이 있습니다 있습니다.

카테고리 이론에 관심이 있다면, 유형 시스템을 살펴 보는 것이 좋습니다.

Axiom에서 모든 "항목"(예 : "1", "5 * x ** 2 + 1")은 도메인의 요소입니다. "도메인"은 특정 범주의 멤버로 선언 된 Axiom 객체입니다 (예 : 정수, 다항식 (정수). Axiom 범주는 "카테고리"라는 고유 기호 (예 : 링, 다항식)의 멤버로 선언 된 Axiom 개체입니다. (회전)).

카테고리간에 다중 상속에 대한 상속 격자가 있습니다. 예를 들어 카테고리 Monad는 SetCategory, Monaid의 Monoid, Monoid의 Group 등에서 상속됩니다.

Java의 Generics와 약간 비슷한 고차 다형성도 있습니다.

Axiom 내의 여러 작업은 Functors로 볼 수 있지만 여기에 들어가는 것은 많은 일입니다!

일반적인 최종 사용자로서 카테고리 이론에 대해 걱정하지 않고 Axiom을 사용하려면 기호 계산 시스템이 개별 대수학을 조사하는 데 가장 적합한 소프트웨어입니다.

$L \subseteq X^{\ast}$ 자연스럽게 Nerode - 마이 힐의 합동 관계를 통해 모노 이드 구조와 연결되어 있습니다.

일반 언어의 경우 다음과 같은 사람들이 대수적 관점을 사용했습니다 .Automata 이론의 Samuel Eilenberg, Jean Berstel , Jean-Eric 핀 , Marcel Schützenberg 및 Krohn-Rhodes 이론 .

또한 Cerny 추측 과 관련된 작업에 사소한 대수가 있으며 , 대부분 대수 입니다. 그러나 최근에는 선형 대수, 반지 이론 및 표현 이론으로 더 많은 것을 보았습니다. Benjamin Steinberg 와 Jorge Almeida . .

그건 그렇고, 당신은 Semigroup-, Monoid- 및 Group 이론 으로이 분야에서 상당히 잘 나올 수 있지만 범주 이론과 Homotopy 이론은이 분야에서별로 사용되지 않습니다. 그러나 S. Eilenberg는 Automata Theory에 관여하기 전에도 Category Theory의 창시자 중 한 명이라는 사실에 주목할 수도 있습니다.

브렌트 요지의 논문 은 아직 초안 일 뿐이지 만, 관심사가 TCS와 관련이있는 이유를 설명하는 놀라운 일을합니다.

여기 지난 4 월 Joyal의 관련 자료에 대한 이야기가 있습니다.

당신이 산업을 고려했는지는 모르겠지만, Ayasdi 회사는 데이터 과학 내에서 많은 동종 법과 다른 응용 토폴로지 방법을 적용하는 놀라운 일을하고 있습니다. 그들은 많은 이론과 응용을 혼합합니다. 기본적으로 그들이 무엇을하는지 보려면 Stanford Comptop 웹 사이트를보십시오. (대부분의 사람들이 그곳에서 왔습니다).

다른 사람들이 말한 것 외에도 (이 지점의 가장 큰 적용은 실제로 유형 시스템에 있다고 생각합니다) :

• 격자 이론과 부분 순서는 일반적으로 분산 시스템의 동작 분석 및 컴파일러의 데이터 흐름 분석에 상당히 적용됩니다.
• 또한 머신 러닝에 Galois 연결이 적용되는 것을 보았습니다 (특히 텍스트 분류 : 이진 문서 / 단어 그래프의 왼쪽과 오른쪽 정점의 하위 집합 간의 Galois 연결은 알고리즘의 속도를 크게 향상시킵니다).

대수와 이론적 컴퓨터 과학 사이의 연결은 매우 강력합니다. Nic Doye는 이미 Computer Algebra를 언급했지만, 자동 대수 풀기 및 자동 추론에 응용 한 Computer Algebra의 필수 부분 인 시스템 재 작성 이론을 명시 적으로 포함하지 않았습니다. 문자열 재 작성 시스템은 계산 그룹 이론의 응용 프로그램과 함께 중요한 하위 영역입니다. 예를 들어 Ronald Book과 Friedrich Otto의 "String Rewriting Systems"책을 확인하십시오.

그래프 이론과 대수학 사이에는 연관성이 있습니다. 예를 들어 잘 발달 된 그래프와 복잡한 네트워크의 스펙트럼 이론, 그래프 대칭 이론 (Cayley graps, vertex-transitive graphs, 기타 유형의 대칭 그래프) 병렬 컴퓨터의 상호 연결 네트워크 모델로 많이 사용됨). 다른 주제에 대한 개요는 Chris Godsil과 Gordon Royle의 "대수 그래프 이론"책을 확인하십시오.

컴퓨터 비전의 상황을 확인하십시오. 특히 알고리즘 유형에 관한 많은 주제가 있으며, 처음 3 가지 영역은 매우 유용합니다.