무작위 오라클 R의 경우 BPP는 P ^ R의 계산 가능한 언어 집합과 동일합니까?

글쎄, 제목은 거의 모든 것을 말합니다. 위의 흥미로운 질문은 내 블로그에서 논평자 Jay가 질문 한 것입니다 ( 여기 및 여기 참조 ). 나는 대답이 그렇고 비교적 간단한 증거가 있다고 생각하지만, 그것을 직접 볼 수는 없습니다. (거의 대략 의 언어가$P^R$ 가 아닌 경우 과 무한한 알고리즘 상호 정보를 가져야 하며,이 경우 계산할 수 없음을 보여줄 수 있습니다. 방향은 사소하다 : 의 계산 가능한 언어는 확실히 포함한다 .)$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

내가있어주의 하지 클래스에 대해 물어 AlmostP 에있는 그 언어로 구성, 거의 모든에 대한 (평등에 잘 알려져있다 ). 이 질문에서는 먼저 수정 한 다음 의 계산 가능한 언어 집합을 살펴 봅니다 . 반면 에, 고정 랜덤 오라클 조차도 의 언어 가 계산 가능 하다면 실제로 언어는 있어야 함을 있습니다. R B P P R P R P R R A l m o s t $P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$$R$$AlmostP$

밀접하게 관련 질문은 임의의 오라클을 통해 확률 1, 여부 , 우리가$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

그렇다면, 우리는 다음과 같은 흥미로운 결과를 얻습니다 : 만약 이면 랜덤 오라클 에 대한 확률 1로 오라클 분리 P_R 을 목격하는 유일한 언어 는 계산할 수없는 언어입니다.R P R ≠ N P $P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

예.

먼저, 이것을 스스로 알아내는 데 1 분이 걸렸으므로, 귀하의 질문과 의 차이점을 공식화하겠습니다 . 수량 자의 순서입니다. A l m o s t P : = { L : P r R ( L ∈ P R ) = 1 } 이며, 추정 한 결과는 ∀ $\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ 입니다. 내가 올바르게 이해했다면 P r R ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ .$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

치다

.$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

유니온 바운드함으로써, 에 의해 상부 묶여 Σ L ∈ C O M P P의 R을 R ( L ∈ P R ∖ B P P ) . (후자의 합은 셀 수 있습니다.) 이제 0-1 법칙에 따라-우리가 R을 크게 변경하면 모든 관련 진술이 변경되지 않기 때문에 적용됩니다 .이 합의 각 개별 확률은 0 또는 1입니다. 귀하의 질문에 대한 대답은, '노 P = 1 , 그래서 몇 가지가 있어야합니다 L ∈ C O M P 그러한$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ 입니다. 그러나 이것은 A l m o s t P = B P P 라는 사실과 모순된다.$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

업데이트 2014년 10월 10일이 :로는 에밀 예라 벡에 의해 코멘트 지적, 같은 인수에 적용 M 대 N P R 우리는 또한 알고 있기 때문에, 의 리터 m 오 의 t N P = M을 .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

그는 또한 우리가 B P P (resp., A M ) 를 포함하는 셀 수있는 클래스라는 점 외에는 에 대해 아무것도 사용하지 않았다고 지적합니다 . OQ에서 "흥미로운 결론은"실제로 적용 그래서 어떤 언어를 셀 수있는 클래스 C 가 들어 M을 다음의 경우 P = N P 는 "전용"언어는 증인 오라클 분리하는 것이 P R ≠ N P R은 외부의있는 $\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$. 그러나 후자의 문이 다소 (이 수는 어떤을 위해, 같은 소리 나 오해의 소지가 느끼는 우리가 고려할 수 C = M을 ∪ { L 0 } , 그하여 "쇼" 더 L 0이 실현되지 N P R ≠ P R을 , 잘 알려진 정리와 모순됨). 오히려 상징적으로 쓰면 다음과 같습니다.$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

만약 후 ∀ 가산  C ⊇ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ .$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

결정적 확률 1과 동일한 것은 아니며, 그 주 모든 , 그리고 어떤 전체 측정치 세트 R 의 인수 충족 P의 R의 R은 에 의존 할 수 C . 따라서 C 를 C ∪ { L 0 } 으로 바꾸려고 하면, 이 문장을 만족시키는 측정 값 0의 R 을 제거합니다 .$R$$R$$Pr_R$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C} \cup \{L_0\}$$R$

당신이 요구하는 것과 거의 P 사이의 수량 자 순서가 다르지만, 그것들이 동등하다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다. 먼저, 고정 L에 대해, L \ in P ^ O가 O의 유한 초기 세그먼트에 의존하지 않는지에 대한 의문은 L \ in P ^ R이 0 또는 1 일 확률에 따른다. P 결과, BPP가 아닌 각 계산 가능한 L에 대해 답은 0이지만 B \ in BPP이면 확률은 1입니다. 계산 가능한 L이 많기 때문에 합집합을 사용할 수 있습니다. BPP에는 없지만 P ^ R에있는 계산 가능한 L이있을 확률은 P ^에없는 BPP에 언어가있을 확률과 마찬가지로 확률은 0입니다. 아르 자형,