고도 다항식에 대한 무작위 아이덴티티 테스트?

허락하다 $f$ 수 -variate 다항식 사이즈 폴리 연산 회로로서 소정의 과 보자 소수 일. $n$ $(n)$ $p = 2^{\Omega(n)}$

시간이 이고 오류 확률이 인 경우 보다 가 동일하게 0 인지 테스트 할 수 있습니까? 선험적 인 경계? 가 일 변량 이면 ? $f$ $\mathbb{Z}_p$ $\mbox{poly}(n)$ $\leq 1-1/\mbox{poly}(n)$ $f$

경우에 당신이 효율적으로 테스트 할 수 있습니다 동일하게 A와 제로 공식적인 표현 , 크기의 필드 위에 슈워츠 - Zippel을 적용하여 말 의 최대 학위 때문에 이다 . $f$ $2^{2|f|}$ $f$ $2^{|f|}$

polynomials arithmetic-circuits

— 사용자
소스

정도에 한계가 없다면 특정 기능을 실현하는 다항식이 없습니까?

— 피터 쇼어

@PeterShor : OP 에는 학위가 있습니다. [ 의 게이트 수]에서 2를 초과 할 수 없습니다 .

$\:$

f

$\hspace{.04 in}f\hspace{.02 in}$

$\;\;\;\;$

이 질문의 중요한 점은 필드 GF (p)가 표준 방식으로 무작위 다항식 시간 알고리즘을 구성하기 위해 Schwartz-Zippel lemma를 사용하기에 충분히 크거나 GF (2)와 같이 작지 않다는 것입니다. ) 산술을 사용하여 표준 방식으로 SAT 감소를 구성합니다.

— Tsuyoshi Ito

일 변량의 경우 질문은

x^{p} - 1

$x^p-1$ 나누다

f

$f$ 도움이된다면 더 큰 필드에서 확인할 수 있습니다. 그것이 다변량으로 일반화되는지 확실하지 않습니다.

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving 감사합니다! 효율적으로 확인하기 쉬운가

(x^{p} - 1) | f

$(x^p - 1) | f$ 언제

f

$f$ 회로로 제공됩니까?

— user94741

문제의 입력이 무엇인지, 제한을 어떻게 적용하는지는 분명하지 않습니다. $p=2^{\Omega(n)}$ 그러나, 임의의 합리적인 공식 하에서, 이하 의 감소로 인해 NP = RP가 아닌 한 다변량 다항식에 대한 답은 없다 .

주된 힘 $q$ 이진 및 부울 회로에서 $C$ (만 사용하여 wlog $\land$ 과 $\neg$ 게이트), 우리는 다항식 시간에 산술 회로를 만들 수 있습니다 $C_q$ 그런 $C$ 만족할 수없는 iff $C_q$ 동일하게 다항식을 계산합니다. $\mathbb F_q$ 다음과 같이 : 번역 $a\land b$ 와 $ab$ , $\neg a$ 와 $1-a$ , 그리고 변수 $x_i$ 와 $x_i^{q-1}$ (크기의 회로로 표현할 수 있음) $O(\log q)$ 반복되는 제곱 사용).

만약 $q=p$ (실제로 중요하지 않다고 생각되는) 소수이며 충분히 크면 감소량을 일 변량으로 만들 수도 있습니다. $C_p$ 그래서 $x_i$ 다항식으로 번역됩니다

f_{i} (x) = ((x + i)^{(p - 1) / 2} + 1)^{p - 1} .

$f_i(x)=((x+i)^{(p-1)/2}+1)^{p-1}.$ 한편으로는,

f_{i} (a) \in {0, 1}

$f_i(a)\in\{0,1\}$ 모든

a \in F_{p}

$a\in\mathbb F_p$ 따라서

C

$C$ 만족할 수없는

C_{p} (a) = 0

$C_p(a)=0$ 모든

a

$a$ . 반면에,

C

$C$ 만족하다

C (b_{1}, \dots, b_{n}) = 1

$C(b_1,\dots,b_n)=1$ , 어디

b_{i} \in {0, 1}

$b_i\in\{0,1\}$ . 그것을주의해라

f_{i} (a) = {\begin{cases} 1 & if a + i is a quadratic residue (including 0), \\ 0 & if a + i is a quadratic nonresidue. \end{cases}

$f_i(a)=\begin{cases}1&\text{if $a+i$ is a quadratic residue (including $0$),}\\ 0&\text{if $a+i$ is a quadratic nonresidue.}\end{cases}$ 따라서 우리는

C_{p} (a) = 1

$C_p(a)=1$ 만약

a \in F_{p}

$a\in\mathbb F_p$ 그런

a + i is a quadratic residue ⟺ b_{i} = 1

$a+i\text{ is a quadratic residue }\iff b_i=1$ 모든

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$ . 에서 추론 5 페랄타는 그러한을 의미

a

$a$ 항상 존재

p \geq (1 + o (1)) 2^{2 n} n^{2}

$p\ge(1+o(1))2^{2n}n^2$ .

— 에밀 제라 벡
소스

일 변량 감소는 실제로 비 프라임에 적용됩니다.

q

$q$ 또한 홀수 인 한 (그리고 아마도

2

$2$ 다른 방식으로는). 상수 대신

1, \dots, n

$1,\dots,n$ 하나의 고정 된 순서를 취할 수 있습니다.

n

$n$ 필드의 별개의 요소; 필요한

a

$a$ 다시 존재하는 경우

q \geq 2^{2 n} n^{2}

$q\ge2^{2n}n^2$ 본질적으로 Peralta의 논문에서와 동일한 주장에 의해 (실제 작품은 모든 유한 필드를 보유하는 문자 합에 대한 Weil의 경계에 있습니다).

— Emil Jeřábek

아, 예 : 만약

q = 2^{k} \geq 2^{n}

$q=2^k\ge2^n$ 우리는 고칠 수있다

F_{2}

$\mathbb F_2$ 선형 적으로 독립적

{a_{i} : i = 1, \dots, n} \subseteq F_{q}

$\{a_i:i=1,\dots,n\}\subseteq\mathbb F_q$ 번역

x_{i}

$x_i$ 와

T (a_{i} x)

$T(a_ix)$ , 어디

T (x) = \sum_{j < k} x^{2^{j}}

$T(x)=\sum_{j<k}x^{2^j}$ 의 흔적이다

F_{q} / F_{2}

$\mathbb F_q/\mathbb F_2$ .

— Emil Jeřábek