이 세트 커버 문제의 변형은 무엇입니까?

입력 유니버스 인 $U$ 와의 하위 집합의 가족 $U$ , 말 ${\cal F} \subseteq 2^U$ . 의 부분 집합은 , 즉 ${\cal F}$ 할 수 있다고 가정합니다 . $U$ $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$

증분 피복 시퀀스 의 서브 세트의 서열이다 ${\cal F}$ 말하자면 , 만족 ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$ ,

$\forall i>1$ $\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

문제는 최대 길이의 증분 피복 시퀀스를 찾는 것입니다 (즉, 최대 ). 최대 길이 시퀀스는 결국 , 즉 합니다. $|{\cal A}|$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

가장 긴 증분 커버링 시퀀스를 찾기 위해 알고리즘 또는 근사 알고리즘을 찾으려고 시도했습니다. 나는이 변형 세트 문제가 무엇인지 궁금해하고있었습니다. 감사합니다!

— 체흐 코호 몰 로지
소스

를) 포함하려면 일부 하위 집합 이 필요 합니까? 물론 추가 속성을 가진 세트 커버를 찾고 있기 때문에 더 어려운 세트 커버 문제가 발생할 수 있습니다. 다시 말해서, 표지를 설정하면 문제가 줄어 듭니다. 세트 커버의 위키에는 세트 커버에 대한 innapproximability 결과도 있습니다.

A

$\cal{A}$

U

$\cal{U}$

— Harry

관찰하기 (너무 작기에는 너무 작음) : 하위 집합의 크기가 2 인 경우 찾고있는 것은 기본적으로 광범위한 포리스트입니다.

— David Eppstein

아마도 OP에 익숙하지는 않지만 몇 가지 관찰 사항이 있습니다. (1) 최적 값은 항상 최대 | U |입니다. 최적 값이 | U |와 같은지 여부 커버 된 요소의 수를 최소화하려는 탐욕 알고리즘에 의해 효율적으로 결정될 수 있습니다. (2) F의 모든 세트의 크기가 2 인 경우에도 동일한 욕심 알고리즘이 작동합니다. David Eppstein의 의견을 참조하십시오. (3) 동일한 욕심 많은 알고리즘은 일반적으로 작동하지 않습니다 (한숨). 반례 : F = {{1,2,3}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}}.

— Tsuyoshi Ito

이 문제는 실제로 엄폐물 문제로 보이지는 않습니다. 이분 그래프에서 매칭과 유도 매칭 사이의 하이브리드와 같습니다. 좋은 등가의 개혁은 가족 에 정확히 하나의 세트가 포함 된 요소가 없다면 가족이 나쁘다 는 것입니다. 문제는 가장 큰 아과 찾을 수 있습니다 의 하도록 나쁜 아과이 없습니다합니다.

A

${\cal A}$

F

${\cal F}$

A

${\cal A}$

— daniello

@Neal Young 는 가 정확히 한 세트 (즉, ) 로 덮여 있기 때문에 나쁘지 않습니다 .

F

${\cal F}$

b

$b$

{a, b}

$\{a,b\}$

— daniello

답변:

여기서 나는 문제가 NP-complete임을 보여줍니다.

다음과 같이 CNF를 문제의 인스턴스로 변환합니다. CNF의 변수가 이고 절이 이고 여기서 . 하자 노동 조합의 모든 설정이 완전히 분리 된 곳입니다. 실제로, 및 이고 는 카디널리티 집합입니다 . 또한 하고 모든 대해 내부 에 길이 의 증가하는 패밀리를 수정 하고 합니다. $n$ $x_i$ $m$ $C_j$ $n<m$ $U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$ $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$ $Z_i$ $k=2n+1$ $Z=\cup_i Z_i$ $Z_i$ $k$ $Z_{i,l}$ $l=1..k$ . 모든 변수 에 대해 에 세트를 추가 하고 및 형식의 모든 세트를 추가합니다 . 모든 절 에 대해 를 포함 하는 에 하나의 세트를 추가 하고 모든 요소 및 모든 요소 입니다. $x_i$ $2k$ $\mathcal F$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $C_j$ $\mathcal F$ $Z$ $x_i\in C_j$ $\{a_{i,j}\}$ $\bar x_i\in C_j$ $\{b_{i,j}\}$

수식이 만족스럽고 만족스러운 할당을 수정한다고 가정하십시오. 그런 다음 가 true 인지 여부에 따라 또는 형식 의 세트를 선택하십시오 . 이들은 증분 세트입니다. 이제 절에 해당하는 세트를 추가하십시오 . 또한 절이 만족 스럽기 때문에 크기가 계속 증가합니다. 마지막으로 시퀀스 커버를 로 만들기 위해 개 더 많은 세트 (각 변수마다 하나씩)를 추가 할 수도 있습니다 . $k$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $x_i$ $nk$ $m$ $k$ $U$

이제 세트가 증분 시퀀스에 있다고 가정합니다 . 기껏 알 에 대응하는 세트 각각 선택 될 수 . 따라서 증분 시퀀스에 절 세트가 없으면 최대 을 선택할 수 있습니다 (너무 적음). 절 집합을 선택하자마자 각 해당하는 최대 두 개의 집합 ( 총 집합)을 선택할 수 있습니다 . 따라서 절 집합을 선택하기 전에 적어도 변수 집합을 선택해야합니다. 그러나 각 에 대해 최대 을 선택할 수 있기 때문에 각각 에 대해 적어도 $n(k+1)+m$ $k+1$ $x_i$ $x_i$ $n(k+1)$ $x_i$ $2n$ $n(k-1)$ $k+1$ $x_i$ $1$ 뿐만 . 변수의 "값"을 결정하므로 "true"절만 선택할 수 있습니다. $k=2n+1$

업데이트 : 변경된 값의 에서 까지 MARZIO 가리키는 아웃 등. $k$ $n$ $2n+1$

— 도모토
소스

설명 : 만족스럽지 못한 수식 ( ) 의 구성을 신속하게 확인 했지만 의 시퀀스를 만들 수있는 것 같습니다. 세트 증가 . 아마도 내가 실수를 저지르는 것 같습니다 : ?

x_{1} \land \neg x_{1}

$x_1 \land \neg x_1$

n = k = 1, m = 2

$n=k=1, m=2$

n (k + 1) + m = 4

$n(k+1)+m = 4$

F

$\mathcal F$

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, a_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 1}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— Marzio De Biasi 2014

당신과 나 자신을 알고, 나는 나의 실수라고 확신한다. 나는 우리가 물론 여전히 문제입니다. 좋아, 내가 어디에서 오류를 보았는지, 1 분 안에 고쳐라.

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$

— domotorp December

좋아, 내일 살펴 볼게요! 참고로, 대한 는 무엇이고, 커버링 시퀀스의 길이에 대한 "목표 값"은 무엇입니까 (k)? 수정 된 답변에서 먼저 설정 한 다음 에 대해 이야기하면 세트가 증분 순서로 배치됩니다 . 맞습니까 (아직 축소를 시도하지는 않았습니다)?

F

$\mathcal F$

x_{i} \land \neg x_{i}

$x_i \land \neg x_i$

k = 2 n + 1

$k = 2n+1$

n (k + 1) + m = 2 n^{2} + 2 n + m

$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— Marzio De Biasi

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1},}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

— domotorp

나는 이것이 으로 정확하다고 생각 하지만 길이 증분 시퀀스 만 있습니다 .

n (k + 1) + m = 6

$n(k+1)+m=6$

5

$5$

— domotorp

이것은 솔루션 에 대해 하위 집합 에 대해 에 항상 요소가 있다는 제약 조건 하의 세트 패킹 문제 는 정확히 한 번만 적용됩니다. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

증명 : 문제에 대한 해결책이 주어지면 즉시이 속성이 있습니다. 실제로 이 문제에 대한 최적의 솔루션 세트의 하위 세트를 고려하고 가 나타나는이 순서의 마지막 세트 라고 가정 . 솔루션이 증분되는 필수 특성에 따라 는 이전 세트가 포함하지 않은 요소를 포함하므로 위의 특성을 의미합니다. $E_1, \ldots, E_m$ $\mathcal{B}$ $E_i$ $\mathcal{B}$ $E_i$

다른 방향도 쉽습니다. 솔루션 에서 시작하여 정확히 한 번 포함 된 요소를 찾아서 시퀀스의 마지막 세트로 설정하고이 세트를 제거한 후 반복하십시오. QED. $\mathcal{A}$

이것은 매우 자연스러운 문제입니다 ....

빠른 알림 : 세트 패킹 문제에서 세트 세트가 주어진 경우 추가 제한 조건을 준수하는 최대 세트의 세트를 찾으십시오 (예 : 요소가 10 회 이상 포함되지 않음).

— 사리 엘 하 필링
소스

이 답변은 질문이 당연하다는 것을 증명하는 것입니까, 아니면 당신이 주장하는 다른 것이 있습니까?

— domotorp

더 간단한 방법으로 설명합니다. 아니?

— Sariel Har

예, 동의합니다.

— domotorp