계산하기 어렵지만 결정하기 쉬운 다항식이 있습니까?

모든 모노톤 산술 회로 , 즉 회로 는 음이 아닌 정수 계수로 일부 다변량 다항식 F ( x 1 , … , x n ) 를 계산합니다. 다항식 f ( x 1 , … , x n )가 주어지면 회로$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• 계산해 경우 F ( ) = f는 ( ) 모두 보유 ∈ N N ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• F ( a ) = f ( a ) 가 모든 a ∈ { 0 , 1 } n을 보유한 경우 센다 . $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• 것을 결정한다 경우 F ( ) > 0 정확히 F ( ) > 0이 모두 보유 ∈ { 0 , 1 } N . $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

회로 크기 갭 "계산 / 카운트"가 지수적일 수 있음을 나타내는 명시 적 다항식 (심지어 다중 선)도 알고 있습니다. 내 질문은 "카운트 / 결정"의 차이에 관한 것입니다.$f$

질문 1 : { + , × }- 회로 로 결정하는 것보다 기하 급수적으로 계산하기 어려운 다항식 를 아는 사람이 있습니까? $f$$\{+,\times\}$

가능한 후보로서, 변수 가 { 1 , … , n } 의 전체 그래프 의 모서리에 해당하는 PATH 다항식을 취할 수 있고, 각각의 모노 미널 은 K n의 노드 1 에서 노드 n 까지의 간단한 경로에 해당합니다 . 이 다항식은 Bellman-Ford 동적 프로그래밍 알고리즘을 구현 하는 크기 O ( n 3 ) 의 회로에 의해 결정될 수 있으며 , 모든 { + , × } 회로 컴퓨팅 을 보여주기가 비교적 쉽습니다.$K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$ PATH의 크기가 . $2^{\Omega(n)}$

한편, 모든 회로 카운팅 PATH 해결할 수있는 문제 경로 문제, 즉 수 카운트 1 개 Di의 n 개의 상기 대응에 의해 지정된 경로 0 - 1 의 입력 서브 그래프 K N을 . 이것은 소위 # P- 완전한 문제 입니다. 따라서 우리 모두는 PATH 가 다항식 크기의 { + , × } 회로를 가질 수 없다는 것을 "믿습니다" . "유일한"문제는 이것을 증명 하는 것입니다 ... $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

관련 해밀턴 경로 다항식 HP를 계산하는 모든 회로 는 지수 크기가 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 이 다항식의 모노는 모든 노드를 포함하는 K n의 1 - n 경로에 해당합니다 . 불행하게도, 감소 의 # 에 HP #의 용감한 의해 경로의 Vandermonde 행렬의 역행렬을 계산하도록 요구하고, 그에 따라 구현 될 수 없다 { + , × } -circuit.$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

질문 2 : # HP가 # PATH 로 단조 감소 된 사람이 있습니까? $\#$$\#$

그리고 마지막으로:

질문 3 : 클래스의 "모노톤 버전"이 되었습니까 P 전혀 고려가? $\#$

NB 매우 제한된 클래스의 회로에 대해 이야기하고 있습니다 : 모노 톤 산술 회로! 회로 의 클래스 에서 질문 1은 전혀 불공평합니다. 모든 회로에서 주어진 다항식을 계산해야 할 때에도 그러한 회로에 대해 Ω ( n log n ) 보다 큰 하한은 없습니다. R n의 입력 이 알려져있다. 또한, 이러한 회로의 질문 1 "구조적 유사체"의 클래스 -있다 # P 폴리 크기로 결정할 수있다 - 완전한 다항식 { +은 , $\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$ 회로? -긍정적 인 답변이 있습니다. 예를 들어 영구 다항식 PER = ∑ h ∈ S n ∏ n i = 1 x i , h ( i ) 입니다. $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

ADDED : Ito Tsuyoshi는 매우 간단한 트릭으로 질문 1에 답변했습니다. 여전히 질문 2와 3은 계속 열려 있습니다. PATH의 카운팅 상태는 표준 DP 문제이기 때문에 # P- 완료이기 때문에 흥미 롭습니다.

(OP의 요청에 대한 답변으로 의견을 게시하고 있습니다.)

As for Question 1, let f_n: {0,1}ⁿ→ℕ be a family of functions whose arithmetic circuit requires exponential size. Then so does f_n+1, but f_n+1 is easy to decide by a trivial monotone arithmetic circuit. If you prefer to avoid constants in monotone arithmetic circuits, then let f_n: {0,1}ⁿ→ℕ be a family of functions such that the arithmetic circuit for f_n requires exponential size and f_n(0, …, 0)=0, and consider f_n+x₁+…+x_n.