“큰”증인과의 자연스러운 NP- 완전 문제

" 선형 크기 증인으로 제한되는 NP는 무엇입니까? "라는 질문에 대한 질문은 선형 크기 $O(n)$ 증인으로 제한되는 등급 NP에 대해 묻지 만

이 있습니까 자연 NP 완전 문제는 크기에 (예) 인스턴스 $n$ 이상의 크기 이상의 증인이 필요 $n$ ?

분명히 우리는 다음과 같은 인공 문제를 만들 수 있습니다 .

• $L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
• $L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

G & J를 간략히 살펴보면 모든 자연 NPC 문제는 (엄격히) 보다 작은 증인을 가진 것으로 보입니다 $n$.

"이유 / 설명"이 있습니까?

밀도 그래프 (일명 색채 지수 ) 에서 가장자리 색소 숫자는 어떻습니까? 꼭짓점 그래프 ( n 2 비트 입력) 의 인접 행렬이 주어 지지만 채색을 설명하는 자연 증인의 크기는 n 2 log $n$$n^2$$n^2\log n$ 입니다. 물론 Vizing 정리 에서 클래스 1 그래프에 대한 더 짧은 증거가있을 수 있습니다 .

이 관련 질문 도 참조하십시오

나는 긴 증인이 필요한 겉보기에 NP가 완전히없는 문제를 겪었습니다. 정수 와 D 로 매개 변수화 된 문제점 은 다음과 같습니다.$C$$D$

입력 : 한 테이프 TM 질문 : n ∈ N 이 있습니까$M$
$n\in\mathbb{N}$ 길이 n의 일부 입력에 대해 이 C n + D 단계 이상을 만들 도록$M$$Cn+D$$n$ ?

때때로 문제의 보완은 상태를 설명하기가 더 쉽습니다 . 주어진 한 테이프 TM 이 시간 C n + D 에서 실행 됩니까?$M$$Cn+D$ . 대부분의에서 만들 않는 크기의 모든 입력에 단계 N 모두를 위해, $Cn+D$$n$$n$ ?

전체 결과는 여기 에 표시 됩니다 . 기본적으로 1 테이프 TM이 시간 에서 실행되는지 여부를 확인하려는 경우 q O ( C )로 묶인 길이의 입력에서만 확인해야합니다 . 여기서 q 는 상태 수입니다. 입력 TM. 따라서 감시는 시간 제한이 위반되는 길이 q O ( C ) 의 입력입니다 . 또한 이러한 문제는 모든 C ≥ 2 및 D ≥ 1에 대해 NP- 완전 함을 참조로 나타냅니다.$Cn+D$$q^{O(C)}$$q$$q^{O(C)}$$C\geq 2$$D\geq 1$ .

이제 감시가 실행 시간을 위반하는 입력 인 경우 길이가 일반한다. 그리고 입력의 길이는O( q 2 )입니다.$q^{\Omega(C)}$$O(q^2)$

다음은 자연스러운 문제로 보이는 예입니다.

예 : 양의 정수 및 K 의 모든 이상에서 경계 $d_1,\ldots,d_n$$k$$n$ .

질문 : 합니까가 존재 정도 시퀀스와 -colorable 그래프 D 1 , ... , D N을 ?$k$$d_1,\ldots,d_n$

여기서 입력은 비트로 설명 할 수 있지만 미러링 모니터에는 Ω ( n 2 ) 비트 가 필요할 수 있습니다 .$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

비고 : 이 특정 문제가 실제로 NP- 완전하다는 언급은 없습니다. 그러나 착색성 요건은 다른 NP- 완료 조건으로 대체 될 수있다. 그렇지 않다면 어떤 상황에서는 문제가 NP- 완전하게 될 것입니다.$k$

어쩌면 이것은 어리석은 "이성 / 설명"이지만 많은 NP-Complete 문제의 경우 해결책은 입력의 하위 세트입니다 (백팩, 정점 표지, 도당, 지배 세트, 독립 세트, 최대 컷, 서브 세트 합계, ... ) 또는 입력의 하위 집합 (해밀턴 경로, 출장 판매원, SAT, 그래프 동 형사상, 그래프 채색 등)의 순열 또는 할당.

우리는 그것보다 더 많은 것을 읽거나 더 공상적으로 언급 된 이유를 생각 해낼 수는 있지만 더 깊은 일이 있는지 확실하지 않습니다.

첫 번째 질문에 관해서, Allender는 ( 자체 감소 수단에 의한 하위 경계 증폭 에서 ) 자연적인 NP- 완전 문제가 NTIME (n) 외부에 있다고 알려져 있지 않습니다. 즉, 알려진 모든 자연적인 NP- 완전 세트에는 선형 크기 감시가 있습니다.

MAXCLIQUE 문제 의 다음 변형을 고려하십시오 .

예 : 회로 와 2 N 과 다항식의 제한된 크기의 입력 비트 N . 이 회로는 암시에 그래프 판정 2 개 N 각 정점가 식별되도록 정점, N 개의 비트 스트링, 및 경우에 두 꼭지점 에지와 연결되어있는 2 N 개의 정점 ID를 연결하여 얻어지는 비트 스트링이다을 C에 의해 허용됩니다 . 하자 G는 ( C는 ) 그래프를 나타낸다. n에 기하 급수적으로 많은 정점이 있지만 여전히 C 의 다항식 크기 ​​설명에 의해 결정됩니다 .$C$$2n$$n$$2^n$$n$$2n$$C$$G(C)$$n$$C$

Question: Does $G(C)$ contain a clique of size $n^k$, where $k$ is a fixed constant?

Notes:

1. The problem is NP-complete. The containment in $NP$ is obvious. Completeness can be proved by observing that if the circuit accepts only vertex pairs in which each ID is at most $N=2n^k$, then $G(C)$ can be an arbitrary $N$-vertex graph plus many isolated vertices. (Any such $N$-vertex graph can be encoded in $C$, since $C$ is allowed to have polynomial size in $n$, and so also in $N$.) Then the question becomes: is there an $N/2$-sized clique in an $N$-vertex graph? This is known to be NP-complete, for general $N$. The issue that $N$ is not arbitrary, it is restricted to $N=2n^k$, can be eliminated by appropriate padding.

2. The natural witness for the original problem is the $n^k$-sized clique, which can be described by an $O(n^{k+1})$ long string (an $n$-bit string for each of the $n^k$ vertices). Note that $k$ can be a very large constant, so the witness can be much longer than linear. (Even if the input size is the description of $C$, rather than $n$, this witness can be still much longer, because $k$ can be chosen independently of $C$.)

3. The problem can be viewed as natural, since it is a variant of MAXCLIQUE.

4. When Allender wrote "no natural NP-complete problem is known to lie outside of $NTIME(n)$," (see Amplifying Lower Bounds by Means of Self-Reducibility, Section 7), he may have had a narrower concept of naturalness in mind. For example, natural could be narrowed to something that people really want to solve on the grounds of independent, practical motivations. It is not enough if the problem is not constructed via diagonalization.