범주론의 이론에 대한 단일성과 골격 개념과의 관련

내가 homotopy type 이론 에서 일하고 나의 유일한 연구 대상은 일반적인 범주 라고 가정 해 봅시다 .

여기에서 등가는 functors에 의해 제공됩니다 $F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$ 과 $G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$카테고리의 동등성 을 제공 하는 ${\bf C} \simeq {\bf D}$. 자연적인 동형이 존재합니다$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$ 과 $\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$ 이 functor 및 "inverse"functor가 단위 functor로 변환됩니다.

이제 단일성 은 동일성에 동일성 유형을 관련시킵니다${\bf C}={\bf D}$범주에 대해 이야기하기로 선택한 의도적 인 유형 이론의 범주 만 다루고 동형 골격 이있는 경우에는 동등 하므로 범주의 골격에 전달하는 관점에서 단일성 공리를 표현할 수 있는지 궁금합니다.

또는 그렇지 않으면 신원 유형, 즉 구문 표현을 정의 할 수 있습니까 ${\bf C}={\bf D}:=\dots$ 본질적으로 "골격 (또는 동형)이있는 방식으로" ${\bf C}$ 과 ${\bf D}$ 둘 다 동등합니다. "?

(위에서 나는 정의하기 쉬운 개념의 관점에서 유형 이론을 해석하려고 노력한다-범주 이론적 개념. 나는 이것에 대해 도덕적으로, 공리가 의도적 유형 이론을 하드 코딩에 의해 "수정"한다고 생각한다. 등가의 원칙을 이미 카테고리 이론적 문 제제의 자연적인 부분, 예를 들어 지정은 용어 보편적 인 속성 객체.)

HoTT 책의 9 장을 참조하십시오 . 특히 범주 는 동형 물체가 동일한 방식으로 정의됩니다 (정의 9.1.6 참조) . 로 9.1.15 예 점 밖으로, 정말 HOTT에서 "skeletality"의 합리적인 개념이 없다. 평등이 너무 약해서 이미 "동형"을 의미하기 때문입니다.

게다가 정리 9.4.16 은 말합니다

정리 9.4.16 : 만약$A$ 과 $B$ 카테고리 다음에 기능

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$ (Identity Functor의 유도로 정의)는 유형의 동등성입니다.

정리는 Univalence Axiom이 우리에게 일종의 범주 이론가의 꿈을 준다고 말합니다. 동등한 범주는 동일합니다.

Univalence axiom을 범주에 대한 설명으로 줄일 수 있는지 묻습니다. "골격"이라고 말하는 좋은 방법이 없기 때문에 스켈레톤을 사용한 시도는 작동하지 않습니다. 우리는 정리 9.4.16이 유가 론 공리를 암시하는지 물을 수있다. 내가 볼 수있는 한, 범주는$1$개체의 유형 (그룹) 및 $0$-형태 (세트)의 형태, 따라서 정리 9.4.16은 1- 타입에 대한 Univalence axiom과 같은 것에 해당합니다.