계산 성과 논리의 고정 점

이 질문은 Math.SE에도 게시되었습니다.

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

여기에 게시해도 괜찮습니다. 그렇지 않은 경우 또는 CS.SE에 대해 너무 기본적인 경우 알려 주시면 삭제하겠습니다.

논리의 고정 소수점 정리와 미적분 사이의 관계를 더 잘 이해하고 싶습니다. $\lambda$

배경

1) 진실의 불완전 성과 불확실성에서 고정 점의 역할

지금까지 내가 이해, 떨어져 논리를 내면화의 기본 아이디어에서의 증거 모두의 핵심 진리의 Tarski의 undefinability 및 Goedel의 불완전 성 정리는 다음과 같다 논리적 고정 점 정리 건설, finitistic metatheory에 살고, (나는 배합 희망 문제가 있거나 정확하지 않은 경우 수정하십시오.)

논리에 고정 점의 존재

가 언어 대해 충분히 표현 가능하고 재귀 적으로 열거 가능한 이론 이라고 가정 하고, 가 에서 수식 의 코딩 , 즉 임의의 잘 형성된 수식 를 하나의 자유 변수 로 수식으로 변환 하는 알고리즘이라고 가정 하십시오. , 어떤을 위해 그런 -formula 우리가 . ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

이어서 알고리즘이 존재 잘 형성된 선회 폐쇄 잘 구성으로 한 자유 변수 -formulas를 임의 위해되도록, -formulas 한 자유 변수 -formula 우리가 이는 해석 정의 기능 상징 ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ 또한 같은 더 컴팩트하게 기록 될 수 있습니다 $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
다시 말해, 는 1 변수 의 등가에 대한 고정 점을 구성하는 알고리즘입니다 . ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

여기에는 최소한 두 가지 응용 프로그램이 있습니다.

" 는 자신의 코딩으로 인스턴스화 될 때 증명할 수없는 문장을 코딩한다 "라는 표현에 술어 적용 "이 문장은 증명할 수 없다"라는 공식화를 제공하며, 이는 Goedel의 주장의 핵심에있다. $\phi(v)$ $v$
에 적용 임의의 문장에 대한 진리의 Tarski의 undefinability를 얻을 수 있습니다. $\neg\phi$ $\phi$

2) 형식화되지 않은 미적분의 고정 점 $\lambda$

형식화되지 않은 미적분에서 재귀 함수의 실현에는 고정 소수점의 구성이 중요합니다. $\lambda$

미적분 에서의 고정 점의 존재 : $\lambda$

이 고정 소수점 콤비 , 즉 -term 와 같은 그 어떤을위한 -term , 우리가 $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

관측

나를 놀라게하는 것은 고정 소수점 미적분학 에서 는 논리 고정 소수점 정리의 일반적인 증거를 매우 깨끗하고 비 기술적 인 방식으로 직접 반영합니다. $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

아주 거칠게 , 공식 주어진 , 하나는 공식화 고려 문 "의 코드 자체를 인스턴스화 할 때, 만족 문장 ", 및 풋 . 문장 는 와 같습니다 이고 는 $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ . $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

질문

빠르게 설명 된 아이디어에도 불구하고, 논리적 고정 소수점 정리의 증거는 매우 기술적이고 모든 세부 사항에서 수행하기가 어렵다는 것을 알았습니다. Kunen은 예를 들어 그의 'Set Theory'책의 정리 14.2에서 그렇게합니다. 한편, 에서 -combinator -calculus은 매우 간단하고 해당 속성은 쉽게 확인됩니다. $Y$ $\lambda$

논리 고정 소수점 정리는 미적분의 고정 소수점 결합기 에서 엄밀하게 따릅니 까? $\lambda$

예를 들어, 고정 점 조합기 의 해석이 논리 고정 점 정리에 설명 된대로 알고리즘을 제공 할 수 있도록 계수를 수식에 의해 논리 등가까지 모델링 할 수 있습니까? $\lambda$ ${\mathcal L}$

편집하다

Martin과 Cody의 답변에서 설명한 동일한 대각선 화 주장에 대한 다른 많은 사례를 고려할 때 다음과 같이 질문을 바꿔야합니다.

네이터에 표시된 원칙에 따라 대각선 화 인수에 대한 일반적인 일반화가 있습니까? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

내가 올바르게 이해한다면 Lawvere 's Fixed Point Theorem 한 제안이 아래를 참조하십시오. 불행히도 나는 Martin이 그의 답변에서 인용 한 기사 중 하나에서 관련 전문 분야를 따를 수 없으며 누군가 설명 할 수 있으면 기쁠 것입니다. 첫째, 완전성을 위해 :

로버의 고정 점 정리

하자 유한 한 제품과 범주가 될 어떤 morphism에에 대한하도록 에서 몇 가지가 모든 포인트에 대해 있도록 하나가있다 ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
그리고 어떤 자기 사상에 대한 , 퍼팅 어떤 선택 제공의 고정 점에 상승 , 즉 $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

이것은 유한 제품을 가진 (직관 론적) 1 차 범주 이론의 진술이므로 후자의 모든 모델에 적용됩니다.

예를 들어 , 담화 도메인과 전체 집합 이론 우주 복용 러셀의 역설 준다 (취 , 집합의 가상의 집합 과 -predicate) 와 칸토어의 정리 (걸릴 어떤 세트와 가상 surjection에 해당 $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ). 또한 로버의 정리 증명의 번역은 일반적인 대각선 주장을 제공합니다.

더 구체적인 문제 :

로베르의 정리의 적용을 부분 재귀 함수 또는 논리 고정 소수점 정리에 상세하게 설명 할 수 있습니까? 특히 어떤 카테고리를 고려해야합니까?

D. Pavlovic에서 역설 구조 에서 저자는 with 이 자유롭게 생성하는 범주를 부분 재귀 함수로 간주합니다 . ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

불행히도, 이것이 의미하는 바를 이해하지 못합니다.

예를 들어, 은 무엇이어야 합니까? 부분 재귀 함수의 구성? 결국 Lawvere의 정리는 적용 되므로 특히 모든 형태소 은 고정 점 가져야합니다 . 자기 사상은 실제로 단지 부분 재귀 함수와 함수의 조성물 수단 경우 조성물 인 경우,이 이상하게 보인다 - 포인트 경우 단지 요소 다음 제 잘못이고 morphism에 있다면 $\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ 또한 부분 함수일 뿐이므로 정의 할 수 없으므로 고정 소수점 정리는 사소합니다.

실제로 고려하고 싶은 카테고리는 무엇입니까?

어쩌면 목표는 Roger의 고정 소수점 정리를 얻는 것이지만 어쨌든 범주의 정의에 자연수로 부분 재귀 함수의 코딩을 작성해야하며이를 수행하는 방법을 알 수 없습니다.

Lawvere의 고정 소수점 정리가 적용되는 컨텍스트의 구성을 설명하여 부분 재귀 함수에 대한 논리적 고정 소수점 정리 또는 고정 소수점 정리를 발생시킬 수 있다면 매우 기쁠 것입니다.

감사합니다!

lo.logic computability lambda-calculus

— 한노 베커
소스

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ EmilJeřábek : 귀하의 의견에 감사드립니다! 나는 재귀 함수의 코딩에 대한 방법이 없다는 것을 이해하지만, 코딩과 관련된 것이 무엇인지 그리고 나중에 공식적인 것은 명확하게 분리하고 싶습니다.

— 한노 베커

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

코디, 내가 사용하고있는 카테고리를 정확하게 설명 할 수 있을까요? 왜냐하면 다른 출처를 따라갈 수 없기 때문입니다.

— 한노 베커

나는 아마도 당신의 질문에 직접 대답하지 않을 것이지만, 고델의 이론과 Y 조합을 포함하여 많은 역설에 대한 일반적인 수학적 일반화가 있습니다. 나는 이것이 로버에 의해 처음 탐구되었다고 생각합니다. [2, 3]도 참조하십시오.

FW Lawvere, 대각선 인수 및 데카르트 폐쇄 범주 .
D. Pavlovic, 역설 구조 .
NS 야 노프 스키, 자기 참조 역설, 불완전 성 및 고정 점에 대한 보편적 접근 .

— 마틴 버거
소스

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker 이것은 코딩이 매우 어렵고 민감 할 수 있습니다.

— Martin Berger

귀하의 질문에 대한 완전한 답변이 없지만 다음과 같은 사항이 있습니다.

에 따라 위키 백과가 말한다

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

이것은 당신이 원하는 것이 아니지만, 내면화 트릭은 더 강한 진술을 줄 수 있습니다.

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

다시 말하지만, 이것은 논리적 고정 소수점 정리는 아니지만 동일한 목적을 달성 할 수 있습니다.

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

약간의 생각만으로도 내재화없이 직접 전체 정리를 제공하기 위해이 주장을 강화할 수 있습니다.

— 코디
소스

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N^{2}, N) \to Map (N, C (N, N)) ≅ Map (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

Y

$Y$

λ

$\lambda$

φ

$\varphi$

Y

$Y$

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$

p := Y Q

$p:= Y\ Q$

λ

$\lambda$ quoteeval

Y

$Y$