Kolmogorov의 복잡성은 과잉 기능입니까?

입력 x (T, x)가 입력 x의 T 출력을 영원히 출력하는 Turing-machines 및 범용 Turing-machine U의 인코딩을 수정합시다. U (p) = x가되도록 가장 짧은 프로그램 p의 길이로 x, K (x)의 Kolmogorov 복잡도를 정의합니다.

모든 n> N에 대해 K (x) = n 인 x가있는 N이 있습니까?

말. 보편적 인 Turing-machines를 다른 방식으로 정의하면 그 대답은 부정적 일 수 있습니다. 예를 들어, (T, x)의 길이를 100으로 나눌 수 있으면 입력시 (T, x)가 x에서 T를 시뮬레이트하는 U를 고려하십시오. 보편적 인 Turing-machines의 다른 정의에 대한 반례를 얻기 위해 여러 가지 방법으로이 예를 수정할 수 있습니다.

깊은 통찰력이없는 확장 된 주석 : 튜링 머신의 인코딩에 대해 속임수를 사용하고 Kolmogorov의 복잡성을 초래할 수있는 인공 인코딩을 작성할 수 있습니다.

• $0$ 은 (1 상태 TM) 을 출력하는 튜링 기계를 나타내고 ;$0$
• $0p$ 는 (이진 문자열 에 1을 더한 숫자) 을 출력하는 튜링 머신을 나타냅니다 . 을 출력하는 결정 가능한 TM의 암시 적 "압축"버전입니다 .$p+1$$p$$p+1$
• $1p$ 는 표준 열거에서 번째 Turing machine을 나타냅니다 ( 에서 이미 포함 된 TM은 열거에서 생략 할 수 있음 ).$p+1$$0$$0p$

입력 의 해당 범용 TM 은 값 이 인지 확인하고 인 경우 출력하고 , 그렇지 않으면 TM 시뮬레이션합니다 ( 가 빈 문자열 인 경우 ). 참고 에 대한 입력을 포함합니다.$bx$$b$$0$$x+1$$M_{x+1}$$M_0$$x$$M_{x+1}$

모든 문자열 에 대해 ; 및 모든 있다 의 길이의 문자열 하지만 거기에만 길이의 프로그램 것을 이용하여 표현 될 수 인코딩하는 단계; 인코딩을 사용하여 표현 될 수있는 길이 의 프로그램 만 ; 따라서 길이가 문자열 는 길이가 프로그램 로 나타낼 수 없습니다 . 그러나 반드시 프로그램으로 나타낼 수 있습니다.$x$$1 \leq K(x) \leq |x|+1$$n \geq 1$$2^{n}$$n$$2^{n-1}-1$$< n$$1p$$2^{n}-1$$n$$1p$$x'$$n$$1p$$\leq n$$0x'$ 길이 의 프로그램 ( 길이가 프로그램 가있는 경우 걱정하지 않아도됩니다 ).$n+1$$1p$$n+1$

우리는 모든 것을 결론을 내릴 수있다 , 문자열이 존재한다 하도록 (그래서이 특정 K가 surjective이다).$n > 1$$x', |x'|=n$$K(x') = n+1$