SAT를위한 최고의 현재 공간 하한?

SAT에 가장 적합한 현재 공간 하한 은 무엇 입니까?

공간 하한이있는 경우 여기서는 이진 작업 테이프 알파벳 을 사용하는 Turing 기계에서 사용하는 작업 테이프 셀의 수를 의미합니다 . TM이 고정 된 수의 워크 테이프 셀을 시뮬레이션하기 위해 내부 상태를 사용할 수 있기 때문에 지속적인 추가 항은 피할 수 없습니다. 그러나 종종 암시 적으로 남겨지는 곱셈 상수를 제어하는 데 관심이 있습니다. 일반적인 설정은 더 큰 알파벳을 통해 임의의 상수 압축을 허용하므로 곱하기 상수는 관련이 없지만 고정 알파벳을 사용하면 고려할 수 있습니다.

예를 들어, SAT에는 $\log\log n + c$ 공간이 필요합니다. 그렇지 않은 경우,이 공간 상한 은 시뮬레이션에 의해 시간 상한을 $n^{1+o(1)}$ 로 유도하고, 이에 따라 SAT에 대한 결합 된 $n^{1.801+o(1)}$ 공간-시간 하한이 위반 될 것이다 (링크 참조) 의문). SAT가 와 같은 작은 양의 대해 적어도 $\delta\log n + c$ 공간이 필요하다고 주장하기 위해이 주장을 개선하는 것이 가능합니다. $\delta$ $0.801/C$ 여기서, $C$ 는 시한 TM에 의한 시공간 TM의 시뮬레이션에서 상수 지수이다.

불행히도 $C$ 는 일반적으로 상당히 큽니다 (그리고 일반적인 시뮬레이션에서는 TM의 테이프가 먼저 큰 알파벳을 통해 단일 테이프로 인코딩되는 경우 적어도 2). 이러한 경계 $\delta \ll 1$ 는 다소 약하므로 의 공간 하한에 특히 관심이 있습니다 $\log n + c$ . 충분히 큰 상수 경우 무조건 시간 하한 $\Omega(n^d)$ 단계 는 시뮬레이션을 통해 이러한 공간 하한을 의미합니다. 그러나, 시간의 경계 저하 에 대한 $d > 1$ $\Omega(n^d)$ $d>1$ 은 큰 대해서는 물론 현재 알려져 있지 않습니다 $d$ .

달리 말하면, SAT에 대한 초 선형 시간 하한의 결과이지만 더 직접적으로 얻을 수있는 것을 찾고 있습니다.

— 안드라 살 라몬
소스

다른 답변 (예 : RW)과 같이 시간 또는 공간 하한에 개별적으로 초점을 맞추는 것은 도달 할 수없는 것으로 보이며 약한 / 일반적인 알려진 경계 만 있으며,이 분야의 주요 연구는 비교적 새로운 개념을 일으키는 것으로 보입니다. 결합 된 시공간 복잡성.

— vzn

답변:

알려진 멀티 바운드 튜링 머신의 경우 가장 좋은 경계는 로그입니다.

가정 진 worktape의 비트가 어떤 것인지를 결정하기에 충분하다 CNF 공식 모든 충분히 큰 들어, 만족할 수있다 비트 . 표준 시뮬레이션에 의해, 최대 비트 비트 를 사용 하는 상태 의 TM은 최대 를 갖는 TM에 의해 시뮬레이션 될 수 있습니다. $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ 다른 구성. 기계가 수용 할 때마다,이 수의 구성만큼 긴 (비 결정적) 이동이 수용 상태에 도달합니다. 경우 ,이 최대 인 (참고 모든 입력 길이가 동일하게 유지 ). 별도의 카운터 테이프에서 $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ $M$ 먼저이 양을 단항으로 쓴 다음 시뮬레이션의 각 단계에서 카운터의 심볼 중 하나를 지우고 카운터 심볼이 부족한 경우 계산을 종료 할 수 있습니다. 이것은 지수 의 항에 의해 흡수되는 일정한 오버 헤드 요소 (3과 같은 것)를 만듭니다 . 따라서 단계로 충분합니다. $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

가정 이므로 시공간 곱은 최대 입니다. $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

라울 Santhanam 2001에 나타났다 (참조 도이 : 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 )이 SAT이어야 결정 튜링 기계 시공간 제품 적어도 ; 그의 주장은 비 결정적 기계에도 적용된다. 따라서 이고, 적어도 비트의 이진 워크 테이프가 필요합니다. $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

보다 일반적으로, 추가 작업 테이프와 더 큰 작업 테이프 알파벳은 지수를 상수로 변경합니다. 이는 궁극적으로 계수 감소 시키지만 공간 하한은 여전히 입니다. $\delta$ $\Omega(\log n)$

— 안드라 살 라몬
소스

아마도 우리는 이런 식으로 SAT에 대한 공간 하한을 증명할 수 있습니다 (그러나 한계 / 점근 분석에 확신이 없으므로 대답이 완전히 틀릴 수 있습니다). $\log n$

진 알파벳을 통해 하나의 읽기 전용 (read-only) 입력 테이프 하나 일 개 테이프, 모두 튜링 기계 모델에 과 모든 결정자를 들어, 크기의 입력에 상태 우리는이 : $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T (n) \leq c 2^{S (n)} n S (n) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

그렇지 않으면 튜링 머신이 영원히 반복됩니다 ( 구성 요소는 가능한 모든 테이프 구성을 나타내고, 구성 요소는 입력 테이프 헤드 위치를 나타내며 구성 요소는 작업 테이프 헤드 위치를 나타냄) 하나의 테이프에서 이진 알파벳 (1)에 대한 단일 헤드 TM은 됩니다. $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

두 항에 곱하고 SAT에 대한 일반적인 시공간 상충 관계를 적용하면 다음과 같은 이점이 있습니다. $S(n)$

n^{1.801 + o (1)} \leq S (n) \cdot T (n) \leq c S (n)^{2} 2^{S (n)} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

따라서 SAT에 대해 와 같은 공간 상한을 선택하면 실제로는 중독을 유발할 수 있습니다. $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{c ((\log n)^{1 - ϵ})^{2} 2^{(\log n)^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - (\log n)^{1 - ϵ}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— 마르 치오 데 비아시
소스

상한이 모순을 유발 한다는 것을 나타내는 두 가지 일반적인 방법이있는 것 같습니다 . 기본적 으로 일부 상수 대해 불평등 (본질적으로 동일하지만 작업하기가 약간 더 쉬움)을 사용하는 것을 염두에 두었습니다 . 대해 에서도 모순이 발생하므로 마지막 단계를 더 강력하게 만들 수도 있습니다 .

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— András Salamon

@ AndrásSalamon : 경계면에서는 S. Buss와 R. Williams의 쉬운 개선을 기대할 수 없습니다. 2012 년 시공간 하한에 대한 교대 거래 증명에 대한 한계 : "우리는 만족도 문제에 대해 더 나은 시공간 하한을 증명하기 위해 새로운 기술이 필요하다는 것을 보여줍니다. 즉,"대체 교역 방법 " SAT를 시간에 해결할 수없고 공간에서 증명할 수 없음 시간 하한, 모든 ". 당신은 어떤 아이디어가 있습니까 :-)?

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— Marzio De Biasi

라이언의 접근 방식이이 범위에 도달하기 때문에 정확하게 시공간 경계를 사용하여 갈 수 있다고 생각합니다.

— András Salamon

SAT 인스턴스를 저장하려면 이 필요하고 읽으려면 시간 이 필요합니다 . ST 하한을 증명하지 않습니까?

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— T ....

@Turbo, SAT를 결정하는 모든 알고리즘이 인스턴스를 저장해야한다는 것은 확실하지 않습니다. 비트 결정적 공간 하한을 증명하면 됩니다.

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$

— András Salamon