왜 HAMILTONIAN CYCLE이 PERMANENT와 다른가?

다항식 은 = poly 인 경우 다항식 의 단조 투영법 이며 대입 $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ 되도록 . 즉,결과의 다항식이 와 일치하도록 각 변수 를변수 또는 상수 또는 로 대체 할 수 있습니다. $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

영구 다항식 PER과 해밀턴 사이클 다항식 HAM의 차이에 관심이있는 이유 : 첫 번째 합산은 모든 순열에 대해

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

이고 두 번째는 모든순환순열

입니다.

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

질문 : HAM이 모노톤 프로젝션 PER 이 아닌 이유는 무엇 입니까? 아니면 여전히입니까?

나는 단지 직관적 인 이유로 증거를 요구하지 않습니다 .

동기 : PER (Razborov에서 제공)에 대해 알려진 최대 모노톤 회로 하한은 "only" 입니다. 한편, 결과 발리 언트는 것을 의미 곳 합과 모든 서브 세트 위에 크기의 $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

. 나는 이러한 일반적인 결과로부터 "간단하고 직접적인"축소를 얻을 수 없었지만,Alon과 Boppana는 이미

이면 충분하다고주장했다.

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

그러나 잠깐 :이 잘 CLIQUE 크기의 모노톤 회로를 필요로하는 것으로 알려져있다 (Razborov의 방법을 이용하여 제 알론 및 Boppana 의해 입증 참조). $2^{n^{\Omega(1)}}$

그래서, HAM PER의 모노톤 투사했다, 우리는 것 PER을 위해 또한 하한. $2^{n^{\Omega(1)}}$

실제로, 왜 HAM이 PER의 단조로운 투사가 아닌가? 부울 세미 링에서 전자는 NP- complete이고 후자는 P에 있습니다. 그런데 왜? 순열에 대해 순환 하는 것이 그토록 특별한 곳은 어디 입니까?

PS 한 가지 분명한 차이점은 다음과 같습니다. HAM은 [n]을 단 하나의 (긴) 사이클로 커버하지만 PER은이를 위해 사이클을 분리 할 수 있습니다. 확인 : 따라서 HAM로 PER을 투영하도록 하드 방향 보인다 부재 해밀 토니안 사이클의 새로운 그래프 이산 사이클 어떠한 피복이 없음을 의미한다. 이것이 HAM이 PER을 예상하지 않는 이유입니까?

PPS 실제로, Valiant는보다 인상적인 결과를 입증했습니다 : 모든 다항식 with , 계수 는 p- 시간 계산 가능 = poly 대해 HAM 의 투영 (알고가 단조가 아닌 경우 모노톤 일 필요는 $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ . PER도이 특성을 갖지만 특성 이상의 필드에만 적용됩니다 . 따라서, 브루노가 기억 한 것처럼 PER이 결정 인자로 바뀌고 쉬운 GF (2)에 있지 않는 한 , 이런 의미에서 HAM과 PER 은 실제로 "유사"합니다. $\neq 2$

— 스타 시스
소스

나는 주제에서 약간의 질문이 있습니다. 부울 세미 링에서 PERMANENT가 P에있는 이유를 물을 수 있습니까? 나는 그런 알고리즘을 모른다.

— caozhu

@caozhu : PERMANENT가 부울 세미 링의 결정자와 동일하기 때문에 간단합니다. 그러면 알고리즘은 모든 결정 알고리즘입니다.

— Bruno

@ 브루노 : 꽤. 우리가 GF (2) 분야에 있다면 당신은 옳습니다. 가우스를 사용할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고, 크기가 약

PER의 부울

회로 는 최대 일치를 위해 Hopcroft-Karp 알고리즘 을 사용 하거나 Floyd-Fulkerson 최대 결함 알고리즘을 사용하여 구성 할 수 있습니다 .

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

— Stasys

다음은 해밀턴 사이클 다항식이 퍼머넌트의 다항식 모노톤 투영이 아니라는 특성이 0 인 링에 대한 증거입니다. 비음 수 계수를 갖는 다항식의 모노톤 투영은 하나의 뉴턴 폴리 토프가 다른 하나의 뉴턴 폴리 토프의 확장 된 제형이고,이어서 최근의 하한을 확장 된 제형에 적용하는 것이다.

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— 조슈아 그로 호프
소스

아주 좋은 주장. 이것은 내가 찾던 것입니다! 실제로, 확장 된 LP 제형은 발리언트의 투영을 모방한다 (적어도 모노톤).

— Stasys