경계 트리 폭의 평면 그래프 열거

다음 문제에 대한 참조를 찾고 있습니다 : 주어진 정수 $n$그리고 , 개의 꼭짓점과 나무 너비 에 모든 비 등방성 평면 그래프를 열거합니다 . 이론적 결과와 실제 결과에 관심이 있지만 가능한 많은 및 값 ( 및 ) 으로 코딩하고 실행할 수있는 대부분 실용적인 알고리즘입니다 . 이미 답변이 있다면 아래의 문제를 무시하십시오.$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

다음 접근법은 개의 꼭짓점과 treewidth 에있는 모든 비 등방성 그래프를 열거하기 위해 일종의 ok를 사용합니다 (예 : 평면 구속 조건이 드롭되는 경우).$n$$\leq k$

(a) 꼭짓점과 나무 너비 에 모든 비 등방성 그래프를 열거하십시오 .$n-1$$\leq k$

각 정점 (b) 의 정점과 treewidth 마다 도당의 에 정점에서 모든 부분 집합 의 가장자리의 , 확인 에서 새로운 정점 추가하여 인접 해 있습니다. 개의 꼭짓점 및 treewidth 의 grahs 목록 에 를 추가 합니다.$G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

(c) 동일한 그래프의 사본을 제거하여 을 다듬습니다 .${\cal L}$

treewidth 의 평면 그래프를 열거하기 위해 이것을 확장하는 유혹적인 방법 은 매 반복마다 비평면 그래프를 간단히 필터링하는 것입니다. 불행히도 이것은 트리 폭 의 모든 평면 그래프를 생성하지 못합니다 (예를 들어 열거하기 때문에$\leq k$$\leq k$$4$-축소 그래프).

물론 모든 그래프를 열거 할 수 있습니다. $n$ 꼭짓점 및 트리 폭 $\leq k$ 그런 다음 비평면 그래프를 필터링하지만 대부분의 그래프가 비평면이며 매우 차선 적이라는 것을 악용하지 못합니다.

동 형사상과 관련하여 작은 평면 그래프를 생성 하는 멋진 소프트웨어 가 있습니다. 내가 볼 때 문제 중 하나는 비 등방성 평면 그래프를 생성하는 것이었고 대부분의 평면 그래프 (15 개의 정점 미만)는 작은 나무 너비입니다.

트리 폭이 주어진 값보다 작은 지 확인 $k$정확한 알고리즘이 실용적이지 않은 경우에 대비하여 휴리스틱 알고리즘을 사용하여 계산 속도를 높이는 한 가지 방법이 있습니다. 예를 들어 평면 그래프$G$ 먼저 우리는 직경을 찾을 수 있습니다 $G$ 그리고 해당 경로 $P$ 길이의 $d$(직경). 그런 다음 정점을 찾으십시오$v\in P$ 가장 짧은 거리 ($l$) 다른 정점에 $u\in G\setminus P$ 모든 정점 중 $w\in P$. 트리 폭$G$ 기껏해야 $d+l$이보다 작은 경우 $k$ 그렇지 않으면 다른 휴리스틱 알고리즘을 적용하거나 정확한 알고리즘을 실행합니다.

연결이 3 개 미만인 그래프의 경우 절단 정점을 찾은 다음 해당 정점을 수정하고 나머지 그래프의 트리 너비를 찾아 휴리스틱을 적용 할 수도 있습니다. 그러나 노드 수가 적을수록 ($15$) 그래프가 $4$연결되면 직경이 크지 않으며 첫 번째 휴리스틱이 작동해야한다고 생각합니다. (최대 15 개의 정점에 5 개의 연결된 평면 그래프가 있는지는 모르겠지만, 아는 것은 없습니다.$t$에 연결된 평면 그래프 $t>5$)

나무 너비에 가장 큰 장애물의 크기로 $k$ 우리는 단순히 주어진 그래프의 트리 폭의 상한값을 추측 할 수 없다 $G$. 그러나 최소한 평면 그래프의 경우 그렇게 크지 않아야합니다 (이에 대한 증거를 제시해야 함).

하나는 모든 쌍을 열거 할 수 있습니다 $G,B$ 어디 $G$ 최대 트리 폭을 가진 평면 그래프입니다 $k$, $B$ 크기의 가방입니다 $k$ 트리 분해가 존재하도록 $G$ 와 $B$ 가방으로.

이제 모든 쌍을 위해 $G,B$ 어디 $G$ 있다 $n-1$ 정점 우리는 새로운 그래프를 구축 $G'$ 모든 부분 집합 $S$ 의 $B$ 꼭짓점을 추가하여 $v$ 와 $S$ 이웃으로 $B'$ 크기가되다 $k$ 의 하위 집합 $B \cup v$. 더하다$G',B'$ 만약 $G'$ 평면이며 이미 발견 된 쌍에 대해 동형이 아닙니다.

저장해야 할 항목 수에 대한 쉬운 상한선은 $n \choose k$계산 된 그래프의 수를 곱하지만 이것은 비관적입니다. 트리 폭 k의 대부분의 그래프에서, 크기 k의 대부분의 부분 집합은 가방을 만들 수 없습니다.$k \times n$ 그리드는 $n \cdot 3^{k-1}$ 가능한 가방.

나는 모든 쌍 G, B에 대해 B를 clique로 만들어 그래프를 얻으 므로이 평면 그래프가 아닌 알고리즘에 대해서도 알고리즘을 수행 할 것이라고 믿습니다.이 그래프의 대부분은 동형이 아닙니다.

이것을 가속화하기 위해 적용 할 수있는 몇 가지 트릭이 있습니다. http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf