treewidth에 비해 pathwidth의 알고리즘 장점

트리 폭은 FPT 알고리즘에서 중요한 역할을합니다. 부분적으로 많은 문제가 트리 폭에 의해 FPT 매개 변수화되기 때문입니다. 관련된보다 제한적인 개념은 경로 너비의 개념입니다. 그래프 pathwidth있는 경우 , 또한 최대 treewidth 갖는다 그 반대 방향으로 동시에 treewidth, 기껏 pathwidth을 의미 이 타이트하다. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

전술 한 바와 같이, 경계 경로 폭의 그래프에 대해 상당한 알고리즘 적 이점이있을 것으로 예상 할 수있다. 그러나 한 매개 변수에 대해 FPT 인 대부분의 문제는 다른 매개 변수에 대한 FPT 인 것 같습니다. 이것에 대한 반례, 즉 경로 너비는 "쉽지만", 나무 너비는 "어려운"문제가 궁금합니다.

제가 이고르 Razgon의 최근 논문으로 실행하여이 질문을 동기 부여되었다는 것을 언급하자 ( "경계 treewidth의 CNFs에 대한 OBDDs에"KR'14)가에 문제의 예를 준 때 솔루션 가 나무 너비 일 때 경로 너비와 (대략) 하한 입니다. 이 동작을 가진 다른 표본이 있는지 궁금합니다. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

요약 : W-hard는 treewidth에 의해 매개 변수화되고 FPT는 pathwidth에 의해 매개 변수화되는 자연 문제의 예가 있습니까? 더 광범위하게, 트리 폭이 아닌 경로 폭에 의해 파라미터 화 될 때 복잡성이 훨씬 우수하거나 잘 알려진 문제의 예가 있습니까?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— 마이클 람 피스
소스

길에는 쉽지만 나무에는 NP-Hard 문제가 있습니다. 여기에는 최소 멀티 컷 및 최대 정수 멀티 플로우가 포함됩니다.

— 찬드라 체 쿠리

@ChandraChekuri 이것은 좋은 지적이지만, 그러한 문제에 대한 경로 알고리즘은 일반적으로 경로 너비로 일반화됩니까? 예를 들어, 최대 정수 다중 흐름의 경우에는 그렇지 않습니다. Garg, Vazirani 및 Yannakakis는 "나무의 적분 흐름 및 다중 절단을위한 기본 이중 근사 알고리즘"에서 나무의 NP 경도를 입증했습니다. 축소는 높이 3의 나무를 사용합니다. 이는 일정한 경로 너비에 대해 문제가 NP-hard라는 것을 의미합니다.

— Michael Lampis

이것은 원래 질문에 대한 명확한 대답이 아닙니다. 경로 폭 k 그래프의 플로우 컷 갭은 Lee와 Sidiropoulos의 결과를 통해 일부 함수 f에 대해 f (k)에 의해 경계가 정해져 있습니다. 그러한 결과가 트리 폭을 유지하는지 여부는 중요한 개방형 문제입니다. k = 3의 경우는 트리 폭에 대해 열려 있습니다.

— 찬드라 체 쿠리

경로 너비로 매개 변수화 된 해밀턴 사이클에 가장 적합한 알고리즘은 런타임

(arxiv.org/abs/1211.1506) 가장 좋은 트리 폭은

(arxiv.org/abs/1103.0534) 이것은 아마도 닫히기를 기다리는 간격 일 것입니다.

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— daniello

입력 그래프 의 모든 모서리와 호의 가중치가 이고 트리 깊이에 대해 FPT 인 경우에도 경로 매개 변수화 된 MCPP (Mixed Chinese Postman Problem)는 -hard 입니다. 이것은 트리 폭에 대해서는 -hard이지만 트리 깊이에 대해서는 FPT 인 것으로 알려진 첫 번째 문제 입니다. 그래프의 경로 너비는 트리 너비와 트리 깊이 사이에 있습니다. $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

Steiner Multicut 문제는 무 방향 그래프 주어지면 콜렉션 , , 단말기는 최대 사이즈의 세트들 및 정수 ,이 설정된 여부 기껏의 가장자리 또는 노드들 각 세트의 적어도 하나의 단자 쌍은 다른 연결된 구성 요소에 있습니다. $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ 있습니다. $G \ S$

Node Steiner Multicut, Edge Steiner Multicut 및 Restr. 이고 [2] 인 경우에도 매개 변수 대해 Node Steiner Multicut은 -hard입니다 . $W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— 루페이 쉬
소스