2-CNF 또는 2-SAT로 표현할 수있는 특성

어떤 속성이 2-CNF (2-SAT)로 표현 될 수 없다는 것을 어떻게 알 수 있습니까? 페블 게임과 같은 게임이 있습니까? 고전적인 블랙 페블 게임과 블랙-화이트 페블 게임은 이것에 부적합한 것으로 보입니다 (Hytel과 Pitassi, SIAM J of Computing, 2010에 따르면 PSPACE는 완벽합니다).

아니면 게임 이외의 기술이 있습니까?

편집 : 나는 알 수없는 술어 ( 유한 모델 이론가들이 말하는 것처럼 SO 술어 )의 수 (또는 카디널리티)를 포함하는 속성을 생각하고있었습니다 . 예를 들어, Clique 또는 unweighted Matching과 같습니다. (a) 도당 : 도당의 존재는 지정된 그래프 되도록 주어진 숫자 ? (b) 매칭 : 매칭 있는가 에서 되도록 ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SAT는 셀 수 있습니까? 계산 메커니즘이 있습니까? 의심스러운 것 같습니다.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— 사 메르 굽타
소스

유한 모델 이론에는 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임 (FO 용)과 Ajtai-Fagin 게임 (모나 딕 SO 용)이 있음을 이해합니다. 그러나 여기에 충분한 지 확실하지 않습니다. 또한 FMT의 게임은 규칙적인 구조로 복잡해집니다.

— Sameer Gupta

@ Marzio 그것은 당신이 질문에 대답 할 것이라는 것처럼 모든 부울 함수가 2CNF에서 표현 가능하지는 않다는 증거처럼 보입니다 (실제로 확실하지는 않지만 명백하게 보지 마십시오). 그 증거는 무엇입니까? 어딘가에 출판 되나요?

— vzn

@vzn 2-CNF에서 발현되지 않는 단순 부울 함수이다 :

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— MARZIO 드 BIASI

@SameerGupta : 개혁 후, 문제는 어려워진다 :-); 실제로

두 변수 절에 한정된다 (SO-KROM) 캡처를 통해 존재 SO 캡처 동안 NP 구조물을 지시 NL. 분명히 FO 2-SAT로 제한 할 수는 없습니다 (그리고 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임 또는 압축 기술은 PARITY가 FO를 정의 할 수 없음을 증명하기 위해 사용할 수 있기 때문에 충분합니다).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi 2018

확인.

SAT가 상수

대한 모든 부울 함수를 표현할 수 없다는 일반적인 이론이있는 것 같습니다 . 그 이론은 무엇입니까? 이 질문은 특별한 경우

에 대해 묻습니다 . Tseitin 변환을 통해

-SAT를 3-SAT 로 "감소시키는"개념이 있습니다. 모노톤 회로 하한 교정 (Razborov)에서도 비슷한 개념이 나타납니다.

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

답변:

비트 벡터 패밀리는 중간 속성이있는 경우에만 2-SAT 문제에 대한 솔루션 클래스입니다. 세 개의 솔루션에 비트 과반수 함수를 적용하면 다른 솔루션을 얻게됩니다. 예를 들어 https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2- 만족도 및 참조를 참조하십시오. 따라서 이것이 사실이 아닌 세 가지 솔루션을 찾을 수 있다면 2-CNF로 표현할 수 없다는 것을 알 수 있습니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

데이빗, 고마워요. @vzn-David의 답변은 2 일 전에 채트 사이트에서 언급 한 내용과 관련이 있으며 모든 비트 벡터 세트에 대해 3SAT 수식이 존재하며 비트 벡터 세트에 관한 2SAT 수식에 대한 결과를 찾고 있습니까?

— Sameer Gupta

David, Yuval-동일한 변수 집합을 사용하는 경우 분명히 증명이 작동합니다. 그러나 사용 된 변수 세트가 완전히 다를 수 있다면 어떨까요? Martin Seymour의 답변을 살펴보십시오 : cstheory.stackexchange.com/questions/200/…-K-Clique 또는 K-Matching에서 2SAT로 동등한 만족도의 감소 (바람직하게는 로그 스페이스) 가 없음 을 나타내려면 다른 증거가 필요합니다 . 생각?

— Sameer Gupta 4

보조 변수를 추가 한 후 프로젝션하는 것은 도움이되지 않습니다. 증가 된 변수 시스템에 대해 중간 값 특성이 true 인 경우 프로젝션에서도 여전히 유효하기 때문입니다.

— David Eppstein

또 다른 방법은 중앙값 (또는 대다수)이 2SAT 제약에 대한 다형성 이라는 것입니다. 실제로, 다형성으로서 대부분을 갖는 모든 CSP (부울이 아닌 경우도)는

(Dalmau-Krokhin '08)에있는 것으로 알려져있다.

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

하자 에 등록 될 변수. 과 같은 2CNF 공식 이 있다고 가정합니다 $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ 는 만 포함하는 2CNF 공식 와동일하다고 주장합니다. 이를 증명하기 위해 을 제거하는 방법을 보여주는 것으로 충분합니다. 쓰기

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

여기서

는 리터럴이며,

는

과 관련이 없습니다. 공식

는

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

경우에는 제 증명

단위 절 나타나지 않는다; 그렇다면 직접 제거 할 수 있습니다.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— 유발 필름 러스
소스

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(예, 추가, 곱셈 및 계산 계산 함수는 알고 있지만 각 문제의 결정 버전으로 쉽게 변환 할 수 있습니다.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

예, 2-SAT 는 셀 수 있습니다.

$NL$ $|M|$ $NL$

— 마틴 시모어
소스

Re (c), 당신이 내 대답을 믿는다면, 등가의 2-CNF 표현은 선의의 동등한 2-CNF 표현으로 변환 될 수 있습니다.

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

내 대답을 읽고 직접 볼 수 있습니다. 이 경우 시간 / 공간 경계가 없습니다.

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$