Combintorial Nullstellensatz 와 Chevalley–Warning 정리 는 다항식 방법 이 부가적인 조합론에서 강력한 도구 라고 말합니다 . 적절한 다항식의 문제를 나타내면 솔루션의 존재 또는 다항식에 대한 솔루션의 수를 보장 할 수 있습니다. 그들은 같은 문제를 해결하기 위해 사용 된 제한 sumsets 또는 제로 합 문제 ,이 영역에 정리 중 일부는 그러한 방법에 의해 입증 될 수있다.
나 에게이 방법의 비 건설적인 방식은 정말 놀랍습니다. 복잡한 클래스의 흥미로운 포함과 분리를 입증하기 위해이 방법을 적용 할 수있는 방법이 궁금합니다 (결과가 다른 방법으로 해결 될 수 있더라도).
다항식 방법으로 증명할 수있는 복잡한 결과가 있습니까?
답변:
다항식 방법을 사용하는 몇 가지 고전적인 예는 다음과 같습니다.
또한 부울 함수에 대한 푸리에 분석 ( Ryan O'Donnell의 훌륭한 과정 임)에는 엄청난 결과가 있습니다 .Kushilevitz-Mansour-Nisan의 Goldreich-Levin 정리 증명은 제가 가장 좋아하는 것 입니다.
Scott Aaronson은 실제로 FOCS'08에서 " 고전 및 양자 컴퓨팅의 다항식 방법 (ppt) " 에 대한 자습서를 제공했습니다 .
이것이 도움이되기를 바랍니다.
이전에이 웹 사이트에서 언급 한 유한 필드 Kakeya 문제 에 Zeev Dvir의 결과가 있습니다 . Zeev는 다항식 방법을 사용하여 모든 방향으로 선을 포함하는 F ^ n (F 유한 필드, 자연수)의 포인트 집합에있는 포인트 수의 하한을 지정했습니다. 이 결과는 실제로 다항식 방법에 대한 분석에서 사람들의 관심을 끌었습니다.
Zeev의 결과는 무작위 추출기 를 구성하는 작업에 동기를 부여했습니다 . 이것은 이론적 컴퓨터 과학에서 알고리즘의 무작위 화를 없애고 궁극적으로 P = BPP 및 유사한 복잡성 결과가 유지됨을 보여주기위한 엄청난 노력의 일부입니다.
Zeev의 설문 조사에서 더 많은 것을보십시오 : http://www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir09b.pdf