입력 된 람다 계산법이 주어진 복잡도 아래에서 * 모든 * 알고리즘을 표현할 수 있습니까?

나는 Y 조합기 프리미티브가없는 대부분의 유형화 된 람다 미적분학의 복잡성이 제한되어 있다는 것을 알고있다. 예를 들어, 건축 미적분학은 기하 급수적으로 복잡한 지수를 표현할 수 있습니다.

내 질문은 유형이 지정된 람다 미적분학 이 특정 복잡성 아래 또는 모든 알고리즘 아래에서 모든 알고리즘을 표현할 수 있는지 여부와 관련이 있습니까? 예를 들어 Lambda Cube의 형식으로 표현할 수없는 지수 시간 알고리즘이 있습니까? 큐브의 다른 꼭짓점으로 완전히 뒤덮인 복잡한 공간의 "모양"은 무엇입니까?

나는 부분적으로 대답 할 것이고, 다른 사람들이 빈칸을 채울 수 있기를 바랍니다.

형식화에서 -calculi, 하나는 통상의 데이터의 표현 (타입에 제공 할 수 N t 교회 (단항) 정수, S의 t의 R 진수 문자열, B O $\lambda$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Bool}$ 부울위한) 기능의 복잡성이 무엇 경이 / 문제는 입력 된 용어로 표현 / 결정 가능합니다. 나는 어떤 경우에만 정확한 답을 알고 있으며, 단순히 입력 된 경우에는 "대표 가능 / 결정 가능"을 정의 할 때 사용되는 규칙에 따라 다릅니다. 어쨌든, 나는 두 개의 지수 상한이있는 경우를 모른다.

먼저 Lambda Cube에 대해 간략히 살펴 보겠습니다. 단순 계산 된 -calculus (STLC) 위에 다음 3 가지 종속성을 활성화하거나 비활성화하여 8 개의 계산법을 얻습니다 .$\lambda$

• 다형성 : 용어는 유형에 따라 다를 수 있습니다.
• 종속 유형 : 유형은 용어에 따라 달라질 수 있습니다.
• 고차 : 유형은 유형에 따라 달라질 수 있습니다.

용어에 대한 용어의 종속성은 항상 존재합니다.

다형성을 추가하면 시스템 F가 생성됩니다. 여기서 Church 정수를 입력 할 수 있습니다 . ( X → X ) → X → X 및 이진 문자열 및 부울의 경우와 유사합니다. 지라드는 N a t → N a 유형의 시스템 F 항을 증명 $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$2 차 Peano 산술에서 전체를 증명할 수있는 수치 함수를 정확하게 나타냄을 증명했습니다. 즉, 클래스가 크다, 그래서 아커 만 함수는 커녕 기능 거기에 작은 미생물의 일종이다, (이기는하지만 선택의 어떤 형태없이) 거의 매일 수학을의 2 $\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$)도 똑같습니다.$2^{2^n}$. 나는 시스템 F에서 표현할 수없는 "자연적인"수치 함수를 모른다. 예는 일반적으로 대각선 화, 2 차 PA의 일관성 또는 다른 자기 참조 기법 ( 시스템 내에서 균등 결정과 같은)을 인코딩함으로써 만들어진다. F 자체). 물론 시스템 F에서는 단항 정수 N a t 와 이진 표현 S t r 사이를 변환 한 다음 첫 번째 비트가 1인지 여부를 테스트 할 수 있으므로 결정 가능한 문제의 클래스 ( S t r → B 유형으로) o o $\beta$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

다형성을 포함하는 Lambda 큐브의 다른 3 계산법은 최소한 시스템 F만큼 표현 적입니다. 여기에는 시스템 F가 포함됩니다 (다형성 + 고차)가 포함됩니다. 큐브의 가장 표현적인 미적분 인 구성 (CoC) (모든 종속성이 활성화 됨). 나는 산술 이론이나 설정 이론의 관점에서 CoC의 표현의 특성을 알지 못하지만 꽤 무서워 야합니다 :-)$_\omega$

나는 종속적 유형 (본질적으로 평등과 자연수가없는 Martin-Löf 유형 이론), 고차 유형 또는 둘 다를 활성화하여 얻은 미적분학에 대해 훨씬 무지합니다. 이 계산법에서 유형은 강력하지만 용어는이 힘에 액세스 할 수 없으므로 얻을 수있는 것이 없습니다. 계산적으로, 나는 당신이 단순한 유형보다 훨씬 더 표현력을 얻지 못한다고 생각하지만, 잘못 생각할 수 있습니다.

그래서 우리는 STLC를 떠났습니다. 내가 아는 한, 이것은 흥미로운 (즉, 엄청나게 크지 않은) 복잡성 상한을 가진 큐브의 유일한 미적분학입니다. 거기이다 이것에 대해 답이없는 질문 TCS.SE에, 그리고 실제로 상황은 조금 미묘하다.

첫째, 당신은 원자 수정하면 하고 정의 N에게 t을 : = ( X → X ) → X → X ,이 Schwichtenberg의 결과는 (내가 웹에 그 종이 곳의 영어 번역이 알고하지만 난 그것을 찾을 수 없습니다 이제)는 N a t → N a t 유형의 함수 가 정확하게 확장 다항식 (if-then-else 포함) 임을 알려줍니다 . "느슨한"여유를 허용하는 경우, 즉 매개 변수 X 를 마음대로 인스턴스화하고 N a t 유형의 항을 고려하십시오 $X$$\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$$X$ 와 의 임의 훨씬 더 표현 될 수있다. 예를 들어, 선행 함수뿐만 아니라 모든 지수 타워 (따라서 지수 지수를 훨씬 뛰어 넘을 수는 있지만) 뺄셈은 없습니다 (이진 함수를 고려하고 N a t [ A ] → N a t [ A ' ] → N a t ). 따라서 STLC에서 표현할 수있는 수치 함수 클래스는 약간 이상합니다. 기본 함수의 엄격한 부분 집합이지만 잘 알려진 것은 아닙니다.$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$$A$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

상기와 명백한 모순, 거기에 이 용지 의 전이 함수를 인코딩하는 방법을 도시 Mairson 의해 임의 튜링 기계 는 유형의 장기 수득되는, N t [ ] → B O O (L)을 일부 유형은 ( 에 따라 M 교회 정수 부여하는) N 의 시뮬레이션 실행 입력으로 M 형태의 다수의 단계에 대한 고정 된 초기 설정으로부터 시작 2 2 ⋮ 2 N을$M$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$M$$n$$M$

실제로, STLC는 "균일하게"결정할 수있는 것이 매우 약합니다. 를 일부 A에 대해 간단히 S t r [ A ] → B o o l 유형의 용어로 결정 가능한 언어 클래스 라고하자 (위와 같이 입력에서 임의의 "느슨 함"을 허용 함). 내가 아는 한, C S T 의 정확한 특성 은 없습니다. 그러나 우리는 C S T ⊊ L I N T I M $\mathcal C_{ST}$$\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$\mathcal C_{ST}$$\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$(결정적 선형 시간). 포함과 그것이 엄격하다는 사실은 매우 깔끔한 의미 론적 논증으로 설명 될 수있다 (유한 집합 범주에서 STLC 표준 표준 의미론을 사용). 전자는 최근 Terui 에 의해 보여졌습니다 . 후자는 본질적으로 Statman의 오래된 결과를 재구성 한 것입니다. 문제의 예 과반수이다 (이 0보다 더 엄격 1S 포함되어 있는지 여부를 알 이진 스트링을 주어).$\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

(많은) 나중에 추가 : 나는 위의 라고 부르는 클래스 가 실제로 정확한 특성을 가지고 있다는 것을 알았습니다 . 에서 이 아름다운 1996 종이 , HILLEBRAND 및 Kanellakis는 특히, 증명이$\mathcal C_{ST}$

정리. (일반 언어에 { 0 , 1 } ).$\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$$\{0,1\}$

(이것은 그들의 논문에서 정리 3.4입니다).

나는이 두 가지 놀라운 사실을 발견했다. 나는 결과 자체에 놀랐다 ( 가 그렇게 "정확한"것에 대응할 수 있다는 사실은 결코 알려지지 않았다). 또한 L I N T I M E 상한 에 대한 Terui의 증거는 Hillebrand와 Kanellakis에서 사용하는 것과 동일한 방법을 사용한다는 점이 재미있다 ( 유한 집합 범주에서 단순 유형 λ- 미적분 해석 ). 즉, Terui은 (자신을)이 결과를 발견 재 쉽게 할 수 있었다 그것은하지 우리가 어떻게 든 행복했다는 사실에 대한 C S T는 에 "이상한"클래스 인 :-)$\mathcal C_{ST}$$\mathrm{LINTIME}$$\lambda$$\mathcal C_{ST}$

(우연히, 나는 "알 수없는 정리"에 관한 MO 질문에 대한 이 답변 에서 놀랍게도 공유했습니다 ).

Damiano가 그의 훌륭한 답변에서 제기 한 질문에 대한 답변 :

나는 종속적 유형 (본질적으로 평등과 자연수가없는 Martin-Löf 유형 이론), 고차 유형 또는 둘 다를 활성화하여 얻은 미적분학에 대해 훨씬 더 무지하다. 이 계산법에서 유형은 강력하지만 용어는이 힘에 액세스 할 수 없으므로 얻을 수있는 것이 없습니다.

종속 유형을 추가해도 이론의 일관성 강도는 변경되지 않습니다. 단순 종속 유형은 단순 유형 람다와 동일한 일관성 강도를 가지며 구성의 미적분은 시스템 F ω 와 동일한 일관성 강도를 갖습니다 .$_\omega$

$\lambda{P}$$\lambda{P}\omega$

귀납적 유형과 큰 제거를 추가하면 건축의 즉석 미적분학의 힘이 무엇인지 모르겠습니다.

Damiano의 훌륭한 답변을 보완하려고 노력할 것입니다.

일반적으로 입력 $\lambda$미적분은 특정 논리에 대한 실현 자의 언어 로 사용될 수 있습니다 . 특히 시스템$F$2 차 Heyting 산술을 위한 실현 자의 언어입니다. $\mathrm{HA}_2$. 비공식 정리는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

입력 된 미적분의 항이 $\cal{T}$ 논리의 실현 자 $\cal{L}$다음 정의 기능 에$\cal{T}$대표 정확히 라도 유용 총 기능적 관계를$\cal{L}$.

세부 사항은 물론 더 어둡고 $\cal{L}$ 최소한 산술을 포함해야하지만이 아이디어를 적용하면

• 시스템에서 정의 가능한 기능 $F$ 아마도 총 기능은 $\mathrm{HA}_2$ (this includes the Ackermann function, and much, much faster growing functions)

• The definable functions in system $T$ are the provably total functions in $\mathrm{PA}$ (peano arithmetic). This also includes the Ackermann function (but includes much less than system $F$)!

There are some typed $\lambda$-calculi that exactly capture $\mathrm{PTIME}$ computations. These usually involve linear type systems to control duplication. One such example is given by Baillot and Terui.

In general this is a large avenue of research, so I'll just refer to one of my previous answers.