최대 중량 "공정한"매칭

그래프에서 최대 가중치 일치의 변형에 관심이 있는데,이를 "최대 공정 일치"라고합니다.

그래프가 가득 차고 (즉, ), 짝수의 정점이 있으며 가중치는 이익 함수 p : {V \ choose 2} \ to \ mathbb N에 의해 주어진다고 가정합니다 . 일치하는 M이 주어지면 M (v)로 표시됩니다 . 가장자리 v 의 이익 이 일치합니다.$E=V\times V$$p:{V\choose 2}\to \mathbb N$$M$$M(v)$$v$

일치하는 $M$ 은 두 정점 u, v \ in V에 대해 공정한 일치 iff입니다 $u,v\in V$.

$$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$$

임의의 정점 경우 즉, $w\in V$ 매칭 $w$ 정점에 $v$ 정점에 일치하는보다 높은 이익을 준다 $u$ 공정한 매칭 충분해야 $M(v)\geq M(u)$ .

최대 중량 페어 매칭을 효율적으로 찾을 수 있습니까?

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그래프가이 분이고 공정성이 한쪽에만 적용되는 경우가 흥미로운 경우인데, 즉 $G=(L\cup R,L\times R)$ 이고 이익 함수 $p:L\times R\to \mathbb N$ .

공정 이분 매칭 에 일치 인 $G$ 되도록 두 꼭지점에 대한 $u,v\in L$ :

$$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$$

최대 중량 공정한 이분법 매칭을 얼마나 빨리 찾을 수 있습니까?

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이 문제에 대한 동기는 이분의 특별한 경우에서 비롯됩니다. 근로자와 업무 가 있다고 가정 하고 근로자 는 업무 에서 수익을 창출 할 수 있습니다 . 여기서 문제는 총 보수를 극대화하면서 합리적인 수준으로 설계하는 것입니다 (어떤 의미에서 근로자는 "찢어짐"을 느끼지 않을 것입니다) (여기서 할당 메커니즘의 힘과 사회적 이익 사이에는 상충 관계가 있습니다).$n$$m$$i$$p_{i,j}$$j$

우리가 근로자의 일자리 할당에 대한 사회적 복지 (또는 공장 이익)를 이익의 합계로 정의하는 경우.

작업 할당 자의 힘에 대한 다양한 시나리오를 살펴보면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

• 작업자를 모든 직무에 배정 할 수 있으면 공장을 효율적으로 최적화 할 수 있습니다 (최대 가중치 일치 만 찾으십시오).

• 모든 근로자가 자신의 과제를 선택하는 경우, 해당 과제를 선택한 가장 유능한 근로자 일 경우 자신의 업무를 선택한다고 가정하면 (각 업무에 대해 하나의 업무 만 선택할 수 있음) 근로자는 '욕심쟁이' '평형. 그 이유는 ( ) 가장 많이 얻을 수있는 근로자가 가장 수익성 높은 직업을 선택하기 때문입니다. 매칭을위한 탐욕스러운 알고리즘의 근사 속도에 의해, 가능한 최대 사회 복지의 2 근사치를 제공해야합니다.$i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

중간에 뭔가를 찾고 있습니다. 근로자를 일자리에 배정 할 수는 있지만 "자격이없는"근로자가 그 이상을받지 못한다고 약속해야한다고 가정 해 봅시다.

직원들에게 최대의 중량 매칭 유망 "공정성"을 어떻게 효율적으로 찾을 수 있습니까?

나는 당신이 정의한 "최대 중량 공정한 이분법 일치"가 NP-hard라고 생각합니다. 더 나아가, 공정한 이분법 일치의 존재를 결정하는 것은 NP-hard입니다.

증명 스케치를하기 전에 직관을 위해 다음과 같은 작은 사례를 고려하십시오. 가라 여기서 , . 가라 되도록 에 대한 및 하면서, 에 대한 와 . 그러면 모든 대해 라는 의미에서 와 는 동일 하므로 공정한 일치는 와 에 동일한 이익을 주어야 . 따라서 유일한 공정한 일치는$G'=(L, R, E'=L\times R)$$L=\{a,b\}$$R=\{c,d,e,f\}$$p$$p(u,w) = 0$$u\in L$$w\in\{c,d\}$$p(u,w) = 1$$u\in L$$w\in\{e,f\}$$a$$b$$p(a, w) = p(b, w)$$w\in R$$a$$b$$a$ 와 를 와 로 또는 와 를 와 와 일치 시킵니다. 이러한 종류의 가제트를 사용하여 일치하는 가장자리를 강제 조정할 수 있습니다. 이것이 축소의 기초입니다.$b$$c$$d$$a$$b$$e$$f$

여기 증명을 시도합니다. 조금 복잡합니다. 아마 약간의 실수가있을 수 있지만, 모든 실수가 수정 될 수 있기를 바랍니다.

보조 정리 1. 주어 및 여부를 결정하는 문제에 기재된 공정 정합 포함 NP이고 -단단한.$G'=(L, R, E'=L\times R)$$p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$$G'$

증거 스케치. 입방 그래프의 독립 세트에서 축소하여 증명합니다. 하자 위치를 독립 집합의 주어진 인스턴스가 입방 그래프이다 (모든 정점은도 3을 가짐). 그래프 및 이익 함수 하여 가 에 독립적 인 크기 세트가있는 경우에만 가능합니다 .$(G=(V,E),k)$$G'$$G'=(L, R, E'=L\times R)$$p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$$G'$$G$$k$

의 꼭짓점은 파트너 라고하는 쌍으로 제공됩니다 . 의 꼭짓점에 대해서도 마찬가지입니다 . 각 정점 에 대해 가 의 파트너를 나타냅니다 . 각 정점 와 파트너 있을 것입니다 동등한 우리가 만드는 것을 의미, 결과적으로 모든 공정한 매칭은 동일한 이익을 및 할당해야합니다 . 다음은 을 사용하여 의 값을 나타냅니다 .$L$$R$$v\in L\cup R$$v'$$v$$\ell\in L$$\ell'\in L$

$$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$$ $\ell$$\ell'$$\pi(\ell, r)$$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

또한, 각 쌍 에서 , 파트너들의 각 쌍 에서 , 어느 우리하게 또는, 우리는 신뢰성 전자의 경우, 우리는 우리가 말할 수있는 과 에 일치하는 과 (이렇게하면 같은 이익 지정 때문에 과 필요에 따라). 후자의 경우, 우리는 과 이 과 일치하는 것을 막는다$\ell$$L$$r, r'$$R$

$$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$$ $$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$$ $\ell$$\ell'$$r$$r'$$\ell$$\ell'$ $\ell$$\ell'$$r$$r'$ (그렇게하면 동일한 이익을 및 할당하지 않기 때문에 ).$\ell$$\ell'$

주어진 그래프 가 입방이므로, 및 독립 세트 크기의 에서 정확히에 입사 가장자리. 표기법이 쉽다고 가정하십시오 .$G=(V,E)$$3|V|=2|E|$$I$$k$$G$$3k$$V=\{1,2,\ldots,n\}$

각 모서리 대해 다음을 수행하십시오.$\{i, j\}\in E$

1. 파트너 정점 쌍 을 합니다. $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$$R$

2. 끝점 의 경우 파트너 정점 쌍 를 . 집합 수 및 에 일치시킬 및 . $i$$\ell(i,j), \ell'(i,j)$$L$

   $$\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$$ $\ell(i,j)$$\ell'(i,j)$$r(\{i,j\})$$r'(\{i,j\})$

3. 대칭 적으로 다른 끝점 : 파트너 정점 쌍 을 에 추가하고 허용 및 및 와 일치해야 합니다.$j$$\ell(j,i), \ell'(j,i)$$L$

   $$\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$$ $\ell(j,i)$$\ell'(j,i)$$r(\{i,j\})$$r'(\{i,j\})$

지금까지 추가 된 모든 및 에 대해 쌍의 이 과 일치하도록 명시 적으로 허용되지 않으면 ( 위) , 및 각각 고유 한 숫자입니다.$\ell\in L$$r\in R$$\ell, \ell'$$r, r'$$\pi(\ell, r)$$\pi(\ell, r')$

다음으로 쌍의 필러 정점을 합니다. 각 필러 정점 과 각 에 대해 .$3(|V|-k)$$R$$r$$\ell(i,j)\in L$$\pi(\ell(i,j), r) = 0$

마지막으로 두 개의 정점 및 (파트너)를 에 추가하고 두 개의 정점 및 (또한 파트너)을 . 집합 수 및 일치 할 및 . 다른 모든 정점 에 대해 을 고유 한 숫자로 설정하십시오. (따라서, 모든 공정 매칭이 일치해야 및 에 및 .) 모든 들어$L_0$$L'_0$$L$$R_0$$R'_0$$R$$\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$$L_0$$L'_0$$R_0$$R'_0$$r\in R$$\pi(L_0, r)$$L_0$$L'_0$$R_0$$R'_0$$i\in V$모든 입사 에지 , 세트 및 .$\{i,j\}\in E$$\pi(\ell(i,j), R_0) = i$$\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

이것으로 축소가 완료됩니다. 끝으로, 우리는 그것이 옳다는 것을 증명합니다.

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먼저 무엇을 정점의 쌍에 대한 고려 후자는 지배를 이전, $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

$$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$$

및 에 된 모서리에 할당 된 이익을 고려하면 이 조건은 인 경우에만 충족 될 수 있으며 나머지 모서리에 대한 정의를 검사 하면 조건 이면 충분합니다. 따라서 과 을 과 할당 하고 각 에 대해 모든 정점에 동일한 이익을주는 경우에만 일치$R_0$$R'_0$$i=i'$$\pi$$i=i'$$L_0$$L'_0$$R_0$$R'_0$$i\in V$

$$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$$

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먼저 의 크기가 인 독립 세트 을 가정합니다 . 다음과 같이 에서 대한 공정한 일치를 얻습니다 . $G$$I$$k$$G'$$I$

과 을 및 일치 .$L_0$$L'_0$$R_0$$R'_0$

각 정점 ,하자 세 개의 사건 가장자리합니다. 각 모서리 에 대해 정점 및 해당 파트너 를 및 . 이것은 이익 모든 정점을 제공합니다 .$i\in I$$\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$$\{i, j_h\}$$\ell(i,j_h)$$\ell'(i,j_h)$$r(\{i,j_h\})$$r'(\{i, j_h\})$$N(i)$$i$

의 각각에 대해 정점 세 모서리의 각, 입사 , 경기 와 파트너 필러 정점 과 그 파트너 의 고유 한 쌍 . profit 모든 정점을 제공합니다 .$|V|-k$$i\in V\setminus I$$\{i,j\}$$i$$\ell(i,j)$$\ell'(i,j)$$r$$r'$$N(i)$$0$

따라서이 매칭은 공정하다.

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다음으로 에 공정한 일치 이 있다고 가정합니다 .$G'$$M$

$M$ 은 및 - 및 과 일치해야합니다 . 각 에 대해 일치는 의 각 정점에 동일한 이익을 제공해야합니다 . 각 대해 파트너 도 있습니다. 따라서 감소를 검사하여 각 정점의 이익은 (이 경우 6 개의 정점이 모두 정점 및 해당 파트너와 일치 함 )이거나 0이어야합니다. (이 경우 6 개의 정점이 모두 필러 정점과 일치합니다 ). 허락하다$L_0$$L'_0$$R_0$$R'_0$$i\in V$$N(i)$$\ell(i,j)\in N(i)$$\ell'(i,j)$$N(i)$$i$$N(i)$$r(\{i,j\})$$N(i)$$R$$I$ 이전 사례가 보유한 정점 세트입니다. 각 모서리 에 대해 정점 및 해당 파트너는 각각 하나의 정점과 일치합니다. 이 것을 다음 독립적 인 집합입니다. 필러 정점의 수는 이므로 의 크기는 이상이어야합니다 .$\{i,j\}$$r(\{i,j\})$$I$$6(|V|-k)$$I$$k$

QED (?)

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조금 복잡하다면 기본적으로 정확하다고 생각합니다. 실수가 있거나 증거를 단순화하는 방법이 있으면 알려주십시오.

위의 축소는. 그것이 바람직하지 않다면, 을 채울 수 있다고 생각합니다. 및 대한 모서리를 제외한 모든 모서리에 이익 0을 할당하는 필러 정점 . 필러 정점에 다른 정점이 지배하지 않도록하기 위해 후단에 이익을 할당 할 수 있습니다.$|R|>|L|$$L$$|R|-|L|$$R_0$$R'_0$