발톱과 경로로 가장자리 분할 입방 그래프

이전 질문에 의욕을 불러 일으키면서 복잡성이 궁금한 최첨단 파티션 문제입니다 .

입력 : 3 차 그래프 $G=(V,E)$

질문 : 의 파티션이 로 E 1 , E 2 , ... , E 의 이러한 각에 의해 유도 된 서브 그래프 E 난 (예 중 하나 발톱입니다 K 1 , 3 , 종종 스타라고도 함) 또는 3 -path (즉, P 4 )?$E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

나는 언젠가이 문제가 NP- 완전한 것으로 입증 된 논문을 보았지만 더 이상 그것을 찾을 수 없으며, 그 결과가 입방 그래프에 적용되는지 기억이 나지 않습니다. 관련 문제로, 이분 그래프를 클로로 엣지 파티셔닝하는 것은 NP- 완료됨을 알고 있습니다 ( Dyer and Frieze 참조 ). 누구든지 내가 설명 한 문제 또는 관련있는 것에 대한 참조가 있습니까 (예 : 다른 그래프 클래스의 동일한 문제, 입방 그래프로 줄이기 위해 시도 할 수 있습니까)?

이것은 문제의 복잡성에 대한 해답은 아니지만 최소한 복잡성이 중요하지 않을 가능성을 보여줍니다. 경로와 클로로 나눌 수없는 입방 형 그래프의 예입니다.

_{(출처 : uci.edu )}

3 개의 로브 내에서 경로와 클로로의 파티션은 7 개의 가장자리 중 6 개만 사용할 수 있습니다. 나머지 6 개의 중앙 모서리는 각 모서리를 세분화 한 클로 형태로 경로와 클로로 분할 할 수 없습니다.

ETA : 위의 그래프는 완벽하게 일치하지 않는 입방 형 그래프의 예로 더 유명합니다. 그러나 완벽하게 일치하는 모든 입방 형 그래프는 경로로 분해됩니다 (발톱조차 사용하지 않음). König의 정리에는 모든 입방 이분 그래프가 포함되어 있으며 Petersen의 정리에는 브리지가없는 입방 그래프가 포함되어있어 주석에서 Joseph Malkevitch의 질문에 대답합니다.

증거는 매우 간단합니다. M이 3 차 그래프에서 완벽하게 일치하는 경우 M을 제거하면 2 개의 정규 그래프, 즉 분리 된주기의 합집합이 남습니다. 각 사이클의 방향을 임의로 정하고 M의 각 모서리 uv를 사이클 방향에서 u 및 v를 따르는 사이클 모서리에 연결합니다.

다른 방향으로, 경로로의 분해가 존재한다면, 완벽한 매칭이 존재합니다 : 2 개의 중간 에지가 3도 정점을 공유 할 수 없기 때문에 각 경로의 중간 에지는 매칭되어야합니다.

(면책 조항 :이 아이디어는 GD 2010에서 Carsten Thomassen의 초청 연설에서 이미 나타 났을 것입니다. 이는 일종의 그래프 분해 문제에 관한 것입니다.)

(면책 조항에 추가 (Anthony Labarre) : 파티션과 경로를 완벽하게 일치시키는 방법을 제시하는 Jorger, Reinelt 및 Pulleyblank 는 이 논문 에서 WH Cunningham의 속성이라고하는 " 동양 아이디어"를 보여줍니다 .)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

이것은 실제로 이야기의 끝이 아니 었습니다. 입방 그래프가 이분의 경우, 이분의 한 세트를 선택하고 그것을 "발톱 센터"로 만들어 발톱 만 사용하여 가장자리 세트를 분할하는 것이 쉽습니다. 일반적인 문제는 실제로 어렵다. 이는 CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3 SATISFIABILITY의 감소를 통해 입증 될 수있다. 모든 세부 사항은 arxiv에서 자유롭게 액세스 할 수 있습니다 .

이 백서가 흥미로울 수 있습니다.

Kleinschmidt, Peter 정규 그래프의 정규 파티션. Canad. 수학. 황소. 21 (1978), 아니오. 2, 177–181.

길이가 3 인 "Z- 경로"의 합집합으로 작성할 수있는 그래프를 다룹니다 (구체적으로 평면, 3가, 3 연결된 그래프-큐빅 3- 폴리 토프).