n 여왕 완성의 복잡성?

27

전형적인 퀸즈 문제는 양의 정수 주어지면 다음 조건을 만족하는 정수 배열 가 있는지 묻습니다 . $n$ $n$ $Q[1..n]$

모든 대해 $1\le Q[i] \le n$ $i$
모든 대해 $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
모두 $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
모두 $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

각각의 정수 는 체스 판 의 번째 행 에서의 여왕의 위치를 나타내고 ; 구속 조건은 어떤 여왕도 다른 여왕을 공격하지 않는다는 요구 사항을 인코딩합니다. 또는 일 때 해가없고 , 닫힌 모든 해가 다른 모든 값에 대해 알려져 있음을 쉽게 증명할 수 있습니다 . 따라서, 결정 문제로서, 퀸즈 문제는 완전히 사소하다. $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$

퀸즈 솔루션 을 구성 하기 위한 표준 역 추적 알고리즘 은 행의 접두사에 퀸을 추측 적으로 배치 한 다음 나머지 행에 퀸이 합법적으로 배치되는지 여부를 재귀 적으로 결정합니다. 재귀 하위 문제는 다음과 같이 공식화 할 수 있습니다. $n$

정수 주어 및 배열 정수이며, 어레이의 접두사 받는 해결책을 설명하는 문제 -queens? $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

NP-hard보다 일반적인 결정 문제입니까?

라틴 제곱 완료 [ Colbourn 1984 ], 스도쿠 완료 [ Yato and Seta 2002 ], 퀸즈 의 다른 일반화 [ Martin 2007 ]를 포함하여 몇 가지 인근 질문이 NP-hard라고 알려져 있습니다 . 진지한 관심. $n$

관련 cstheory.se 질문 :

cc.complexity-theory board-games

— 제프
소스

2

스도쿠의 기존 NP- 완전성 증명, 라틴어 사각형 완성 및 기타 유사한 문제가 실제로 존재하는지 궁금합니다. (예를 들어 라틴어 사각형 완성 NPC 증명, Colbourn "NP의 멤버쉽은 즉각적입니다"라고 말하지만 인스턴스 인코딩 문제는 언급하지 않았습니다.

— Marzio De Biasi

1

@Marzio : 이러한 증명은 표현에 크게 의존하고 있으며 (일반적으로 언급되지는 않았지만) NP 멤버십을 설정하는 것은 사소한 일이 아닙니다. 예를 들어 cstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— András 살 라몬

답변:

16

몇 년이 걸렸지 만이 포스트는 오늘 나온 논문을 쓰도록 영감을주었습니다.

이에 대한 답은 퀸즈 준공은 NP-Complete입니다. 그러나 전체 공개를 위해서는 문제의 약간의 변형을 해결해야합니다. 우리의 경우 여왕의 집합은 전체 집합의 접두사 일 필요는 없습니다. 따라서 기술적으로 여기에서 요청한 정확한 문제를 해결하지 못했습니다. 그러나이 쿼리의 n Queens Completion 버전이 NP-Complete가 아닌 경우 매우 놀랍습니다.

이 질문을 제기 한 Jeffε 논문에 감사를 반복하고 싶습니다.

n Queens Completion Journal of AI Research Gent, Jefferson, Nightingale doi : 10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html의 복잡성

— 이안 겐트
소스

좋은. 축하합니다!

— Jeffε

n - 1

$n-1$

n

$n$

6

(이것은 일부 관련 결과를 가리 킵니다. 처음에는 관련 결과가 매우 관련 이 있다고 생각 했지만 간격을 빨리 채울 수 없으므로 결국 관련이 없습니다. 아마도 여전히 도움이됩니다.)

컴퓨터 프로그래밍 기술 7.2.2.2의 (초안) 섹션의 연습 118은 매우 비슷한 문제를 봅니다. 솔루션에서 Knuth는 크레딧을 제공하는 기사를 제공합니다.

Gardnera, Gritzmannb, Prangenbergc, 자신의 X 선에서 격자 설정을 재구성의 계산의 복잡성에 1999

$[2]=\{0,1\}$

$r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

이것을 당신의 문제로 줄이는 방법은 분명하지 않습니다. 도움이 될 수있는 한 가지 관찰은 문제의 결과는 여왕의 정확한 위치가 아니라 합계에만 의존한다는 것입니다. (이것은보기 쉽지만 [Rivin, n-Queens 문제에 대한 동적 프로그래밍 솔루션, 1992]의 정리 2.4 를 참조하십시오.)

Knuth는 BINARY CONTINGENCY PROBLEM을 줄임으로써 BINARY DIGITAL TOMOGRAPHY가 NP-complete임을 증명합니다. 이것은 대각선이없는 3 차원을 제외하고는 매우 비슷한 문제입니다.

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

$x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

Gardnera 등의 기사. 보다 표준적인 NP- 완전 문제를 줄이는 것 같습니다. 나는 여기에 설명 할만 큼 축소가 충분하지 않기 때문에 원하는 경우 탐색 할 수 있도록 위의 포인터를 남겨 두겠습니다.

누군가가 질문에 대한 이진 디지털 TOMOGRAPHY를 줄이는 방법을 알지 못한다면 이것은 모두 쓸모가 없습니다.

— 라두 GRIGore
소스

당사 사이트를 사용함과 동시에 당사의 쿠키 정책과 개인정보 보호정책을 읽고 이해하였음을 인정하는 것으로 간주합니다.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.